LEC 9

 

 

INTEGRATION  METHODS \ BY PART

 

 

LEC : 9

 

64

 

 

     MOHAMED SABAH AL TAEE \ MOSUL UNIVERSITY \ MATHEMATICS SCIENCES

 

Integration by part

1) 

 

 عطاةًنا تنادنا ءزجَ اَُا تقيرطنا صخهيو تقباسنا دعاوقناب لاودنا مياكت اُتعاطتسا ودع تناح يف تقيرطنا ِذه ودختست

  انجزء االول قابم نالشتقاقٌوكي ثيحب ٍيأزج ىنا

u

 

 ي قابم نهتكايمَاثنا ءزجناو

dv

 

: طبق انقاعدة انتانيتَ ىث ٍي

 

:

 

EXAM

 

1

x

xe dx



 

  االولٍيأزج ىنا تنادنا ِذه ءزجَ فوس ٌلاا

u

 

 قابم نالشتقاق وهو

x 

 

 يَاثناو

dv

 

 قابم نهتكايم وهو

x

e dx

 

x

x

u

x

dv

e dx

du

dx

v

e









 

                                                  

 

x

x

x

x

x

xe dx

xe

e dx

xe

e

C















 

2

2

x

x e dx



 

2

2

x

x

u

x

dv

e dx

du

xdx

v

e









 

                                                                            

 

2

2

2

x

x

x

x e dx

x e

xe dx









 

x

x

u

x

dv

e dx

du

dx

v

e









                                                                            

 





2

2

2

x

x

x

x

x e dx

x e

xe

e

C











 

3

Lnx dx



 

 

1

u

Lnx

dv

dx

du

dx

v

x

x









  

                                                                          

 

Lnx dx

xLnx

dx

xLnx

x

C







 





 

4

sin

x

x dx



 

sin

cos

u

x

dv

x dx

du

dx

v

x







 

                                                                           

 

sin

cos

cos

cos

sin

x

xdx

x

x

xdx

x

x

x

C

 



 









 

5

cos

x

x dx



 

cos

sin

u

x

dv

x dx

du

dx

v

x









                                                                          

 

cos

sin

sin

sin

cos

x

xdx

x

x

xdx

x

x

x

C















 

 

 

INTEGRATION  METHODS \ BY PART

 

 

LEC : 9

 

64

 

 

     MOHAMED SABAH AL TAEE \ MOSUL UNIVERSITY \ MATHEMATICS SCIENCES

 

 

 

cos

sin

x

x

u

e

dv

x dx

du

e dx

v

x









                                                                             

 

 

cos

sin

sin

1

x

x

x

e

xdx

e

x

e

xdx









 

sin

cos

x

x

u

e

dv

x dx

du

e dx

v

x







 

                                                                             

 

 





sin

cos

cos

2

cos

sin

cos

cos

. (2) (1)

2

cos

sin

cos

cos

(sin

cos )

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

xdx

e

x

e

xdx

e

xdx

e

x e

x

e

xdx

sub

in

e

xdx

e

x e

x

e

e

xdx

x

x

C

 

































 

2

7

sin

x

x dx



 

2

sin

2

cos

u

x

dv

xdx

du

xdx

v

x







 

                                                                               

 

2

2

sin

cos

2

cos

(1)

x

xdx

x

x

x

xdx

 







 

cos

sin

u

x

dv

xdx

du

dx

v

x









                                                                               

 

cos

sin

sin

cos

cos

(2)

x

xdx

x

x

xdx

x

x

x













 





2

2

sin

cos

2

sin

cos

x

xdx

x

x

x

x

x

C



 









 

8

xLnx dx



 

2

1

2

u

Lnx

dv

xdx

x

du

dx

v

x









                                                                                 

 

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

4

xLnxdx

x Lnx

xdx

xLnxdx

x Lnx

x

C

















 

 
 
 

6

cos

x

e

x dx



 

 

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2

9

sin x dx



 

sin

sin

cos

cos

u

x

dv

xdx

du

xdx

v

x







 

                                                                     

 

 





2

2

2

2

2

2

sin

sin cos

cos

sin cos

(1 sin

)

sin cos

sin

1

2 sin

sin cos

sin

sin cos

2

xdx

x

x

xdx

x

x

x dx

x

x

dx

x dx

x dx

x

x

x

x dx

x

x

x

C

 



 





 





 

 





















 

1

10

sin x dx





 

1

2

sin

1

1

u

x

dv

dx

du

dx

v

x

x













                                                                     

 

1

1

1

2

2

sin

sin

sin

1

1

x

x dx

x

x

dx

x

x

x

C

x

























 

 
 
 

 

 
 

2

3

2

3

3

2

1

1

2

cos

sin

sin

tan

sec

cos(

)

(

1)sin

x

x

xdx

xdx

Ln xdx

x

xdx

x e dx

x e

dx

xdx

x

xdx

Lnx dx

x

x

xdx







 





















 

 
 
 

 

 

MOHAMED SABAH AL TAEE

 

M.SC / MATHEMATICS

 

E-MAIL : msmt_80@yahoo.com

 

2013 -2014