background image

 

 

 

 

    

 

 

 :

   !   

 

 
 

 

"#  $

 .

&'()      !

 

 

    

 

         

 

 

 

 

 
 


background image

 
 

 

 

 

 

4

 

    

 

..............................

4

 

    !   

................................

...

 

4

 

 ! "#$ %&

................................

............................

 

4

 

 

  ! "#$ %&

................................

.....................

 

5

 

' () %& *

  

................................

................................

...

 

5

 

" #+ %&

................................

................................

.............

 

  

6

 

" #+ %& ,  ! "#$ %&  - .

 

................................

.

8

 

 / " #+ %&

)

1

................................

................

8

 

"#$ %&

 

................................

................................

9

 

 %&

................................

................................

.............

 

 

9

 

 %&  - .

  ! "#$ %& , 

 

.........................

10

 

3  %& *

 

................................

................................

............

 

10

 

" #+ %& , 3  %& * - .

................................

......

12

 

3  %&  " 4 5

 

................................

...............

13

 

.6

 

  

................................

................................

.........

14

 

 

 # $!   

 

 

................................

15

 

7. %& * ,8 "9 %&

:

7  

 

................................

.........

15

 

3 (; <

 

................................

................................

.............

 

 

15

 

=> "9 %&

 

................................

........................

16

 

"9 %&  ? 6

 

................................

.......................

16

 

" #+ %& , "9 %&  - .

 

................................

......

18

 

3  %& *, "9 %&  - .

 

................................

......

19

 

"@ %&

................................

................................

.............

 

 

19

 


background image

- 3 - 

3 (; <

%&  4A , B+  ,8 "@ 

.....................

19

 

"@ %&  ? 6

 

................................

........................

20

 

 %& *

 

  

................................

................................

.........

21

 

3 (; <

 

................................

................................

.............

 

 

21

 

 %& * ? 6

 

................................

...........................

22

 

 %& *

 

  

................................

................................

..

23

 

3 (; <

 

 

................................

................................

..

23

 

 %&   ? C

 

................................

...................

23

 

.6

 

  

................................

................................

..

25

 

DE

 

  

................................

................................

.........

26

 


background image

 

4

  

 

 

 

 

 

     

     

 

 

%& '

 .

                 FG&  H   7>( 38 3I ##J '4K %& ,   L MN<  OP #B)  38 

  G4K

MNOL

 .

              M>Q R, =>A, " # N 1S R T  H  TK R F&  UVW 5*

 .

   UVW )+X8 H

  Y F&

 :

   3  %& *, " #+ %&

          G# "@ %& , "9 %& , [9; F&  # 

M)4 F&

.

 

4

-

1

 

      

 

   

Loi hyper géométrique

      

 

Loi Multi-

hypergéométrique

    

Loi Bernoulli 

   

Loi Binomiale

     

 

)

(

Loi Binomiale négative

   

Loi géométrique

  

 

Loi 

multinomiale

   

Loi de Poisson 

.

 

4

-

1

-

1

 

   !

 

 

(

 .

   \ ],#

6

    O# F)X 

4

  , ^_ 

2

 ^)` 

 .

    ab>c 3, /E(

3

F)X

 .

     -*)X d  1 e 14K /K

 [H,_

3

, )X [^_ F)X

^_ )X , [^_ MK

.

 

       F)X ],# H /E( #(8 f)P(

 )*+, -./

   W  

n

       d  = g ],# 3X c [

N

    O# )X 

b

  , ^_ 

r

 

 ^)`

(N  =  b  +  r)

 -   d  1 e 14K 3hB 

x  ≤  b

  1.G6 H \  Ti 38 HJ ^_ F) H 

F4K. ". 3 (;

 4 . Fe 

/

#4 Fe 

 (

F;B  5 k,

:

 

 

  

n

N

x

n

r

x

b

C

C

C

x

X

P

=

= )

(

 

 

< UVW d4*

 :

/(,  ! "#$ %&  3 (

  

b, p) 

 

X ~ H(N,

 

lK

:

 

p = b/N 

 

   

,

     

= 1– p

 

q = r/N

 

"  4X 1+  m8 d  bQ 3I HJ

:

 

P(X = 2) = C

4

2

 . C

2

/ C

1

6

  

 

= 12/20     , P(x = 3) = C

4

3

 . C

2

/ C

6

3   

= 1/5 , … 

     

 

=

=

1

²

,

N

n

N

npq

np

σ

µ

 

01

:

N6@ V$ ])9( #  W)XV# " #+ %&  .   ! "#$ %&  

.

 


background image

 TP

IV

 .

5 )+X@ 4K F&

 

  

5

 

  

 

4

-

1

-

2

 

    !

 

 

       ! "

 

 

O HJ 

 n4* 

 3 (;

  ! "#$

 -P# H )+X8  b, K d

)

k

o# 

(

 # o# TX H lK [

N

i

 

[)X

 

ΣN

i

 = N

 (

 .+ p# A( 14K qe, [

2

 ^_ F)X 

)

X

= 2

 (

 [

5

 [^)`

1

 [^>& 

 . . .

 HJ

 4X F;B  1.6 H #4, 4 . Fe   qK

"

:

 

 

n

x

N

N

C

C

C

C

x

X

x

X

x

X

P

k

i

k

i

n

N

k

x

k

N

x

N

x

N

k

k

=

=

=

=

=

=

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

,

.

.

.

)

.

.

,.

,

(

 

      

 

i

i

i

np

N

N

n

X

E

=

=

)

(

 

 01

:

N6@ V$ ])9( #  W)XV# " #+ %&  .   ! "#$ %&  

.

 

4

-

1

-

3

 

" !

1

  

 

  $  ! "

 

 

 r8 )s H  1 ;( 

"

()

 "

 -A( T4u v(X c

)

-wK

 (

 -B#

A

A’

(

 "4

A

, xy 

A’

TLB 

.

 

 a MN< z(

X

 T+{ | 

345  67

 V6}* [

 X

 4;

1

 ~e D;u #  

A

0

X e R 

.

 

 q M  !)(

p

xA# 14K

 "

 ~e D;u 14K

A

q = 1– p

 X ~e 14K 

)

TLP

 .(

  %G& * -

"  4X ' ()

:

 

 

                             

.

1

,

0

,

)

0

(

,

)

1

(

=

=

=

=

=

X

q

X

P

p

X

P

 

 /(,

X ~ B(1, p)

 

    

 

= 1(p) + 0(q) = p   =>          E(X) = p.                 

 

E(X) = Σx

i

p

i

 

V(X) = E(X²) – E(X)² = (1²p + 0²q) – p² = p – p² = p(1– p) = pq =>    

 

  

 

 

 

V(X) = qp.

    

 

% & '(  

 

 

M(t) = E(e

xt

) = e

0t

q + e

1t

 p =>    M(t) = q + pe

t

.

 

 

                                                

 

1

 

 

 ' () €b n

(Jacques Bernoulli) 

 3); )6,8 R %&  VW 7> =V 

17

 


background image

 ") ^KQ , F4K ‚c T6

 ^! 

1

.

 

 

6

 

 

  

 

 

 

(

)

²)

²

(

)

1

(

)

0

(

)

(

3

3

3

3

3

3

p

q

qp

qp

pq

p

p

q

p

x

p

x

=

=

+

=

=

µ

µ

 

qp

p

q

qp

qp

p

q

qp

²

²

²)

²

(

3

3

3

=

=

=

σ

µ

α

 

4

-

1

-

4

 

  

 

    

:

 

 ' () )s (>)X c 

n

 3hB M) 

X

xA# F) 

 (

n; V6}*

 :

       

   

X = 0, 1, 2, 3, . . . n

 

 9 ">  (z )A f)P#

   M>) ;(

n

, [F) H 

X

 M>  d  1 e F)   

)

F

:(

 

 K 

 :

 

 

n = 2

   

 

 

 

X = 0, 1, 2.   

 

P(X = 0) = q.q = q²,   P(X=1) = P(FP) + P(PF) =  p.q + q.p =  2p

1

q

1

 

 K

 :

 

  

 n = 3

  

 

 

 

 

X = 0, 1, 2, 3.  

 

P(X = 3) = P(FFF) = p.p.p = p

3

, P(X = 2) = P(FFP ∨ PFF ∨ FPF) = 3p

2

q

1

 

 

 K

 :

 

  

4

n = 

 

 

 

 

X = 0, 1, 2, 3, 4.  

 

P(X = 3) = P(FFFP ∨ PFFF ∨ FPFF ∨ FFPF) = 4 p

3

q

1

 

 

  „K.( MN6@ A# R

3

  W 

x

  [ 

1

  W 

n  -  x

 , [ 

4

  ~.Gw d  1 E  4 . ])9    W 

 - H FKy

(n = 4)

K HJ, [q>s 

"  4X \

  :

 

)!

(

!

!

x

n

x

n

C

x

n

=

 

 

    14KB ',

x

- H FKA# H 

  

"  4X /g  () )s

:

 

.

.

..

,

3

,

2

,

1

,

,

.

.

..

,

3

,

2

,

1

,

0

,

)

(

=

=

=

=

n

n

x

q

p

C

x

X

P

x

n

x

x

n

 

 lK

x

 [xA# F)   

p

 xA# 14K 

 MK  )A R

)

)A >)* #  vw d;

(

 [

q  =  1  –  p

 14K 

, TLP

n

q>A   

 .

 

 o)*

 "

" #+ %&  3 (

"

 

"  4X _8 /

:

 

x

n

x

x

n

p

p

C

x

X

P

=

=

)

1

(

)

(

 

8,

 

X ~ B(n, p)

.

 

- -…)L )B * #  5 " #+ %&  38 †_ D ‡

 

 

F) H ˆ   M>)  () )s

[

 

 

 vw )A R xA# 14K

)

; q>A

(

.

 


background image

 TP

IV

 .

5 )+X@ 4K F&

 

  

7

 

  

 

npq

pq

6

1

3

4

+

=

α

 

 :

 (&  ;( 9 "> #  /K8

4

d  1 e 14K F

 :

 

 [-*) [MK, M) [M>  M) , 

3

 [F) 

4

F) 

 .

 

P(X = x) = C

x

n

  p

x

 q

n –x

 => P(X = 0) = C

0

4

  0.5

0

 0.5

4

 = 1/16

 

 

 

 

P(X = 1) = C

1

4

  0.5

1

 0.5

3

               P(X = 2) = C

2

4

  0.5

2

 0.5

2

 

 

 

2

 :

 ab>Q /E(

3

 = g ],# H F)X 

5

 F)X 

 O#

3

^)` 

 .

 

-*)X d  1 e 14K /K8

 

)`

H,

 

 

P(X = 2) = C

2

3

  (3/5)

2

 (2/5)

1

 

 

    

 

 

 :

 >  HJ

X

()  ; FN< a 4S 

 X = X

+ X

+ … X 

i

+ … + X

n

  

  GP( $

 n

 %  P( ', 

(E(X

i

) = p)

_8 

 .

c

y H, %  ? 6 5 

:

 

 

E(X) = E(X

+ X

+ … X

+ … + X

n

)  = ΣE(X

i

) = Σp

i

 = np   => E(X) = np

 

V(X) = V(X

+ X

+ … X

+ … + X

n

), 

 

X

i

3c  ; 

 

 

 

         = ΣV(X

i

) = Σpq =>       V(X) = npq

 

 :

D 1+4  H, %  /K8

:

 

 E(X) = np = 3(3/5) = 9/5 ; V(X) = npq = 3(3/5)(2/5) = 18/25

 

   

 :

 >

X

 

  ;  () FN< a 4S

 X = X

+ X

+ …X

+ … + X

n

 

  GP( $

 n

,!  MA  P(, 

 :

 

 

M

X

(t) = [q + pe

t

]

 5,

 -( ;

,!    ‰ Š ;

 :

 

"

Tb8 H

1

 

 

X

X

2

,!    $  ; a  

 

M

x1

(t)

 

M

x2

(t)

 

3hB

M

x1 + x2 

(t) = M

x1

(t). M

x2

(t)

 "

 p

‹#(

:

 

M

X

(t) = M

x=x1+ x2 +…xn

(t) = M

x1

(t) . M

x2

(t) … M

xn

(t)

 

M

X

(t) = E(e

x1t

) . E(e

x2t

) … E(e

xnt

) =>                 M

X

(t) =

 [q + pe

t

]

n

 

 

 

    

  

   

 

(

)

(

)

=

=

=

=

=

)

(

.

.

.

)

(

)

(

.

3

3

3

3

3

3

p

q

npq

x

p

np

x

x

p

x

µ

µ

σ

µ

α

 

     

 

[

]

σ

α

p

npq

npq

p

p

npq

2

1

)

1

(

3

=

=

 

npq

p

q

=

3

:

 

#  .w4 " #+ %&  ŒE# 3

 

  

α

= 0 =>  2p = 1   =>  p = ½ 

 

  

 

 

 

 %&  ŒE# 3

 " #+

#  

 

  

α

= 3 =>  qp = 1/6

 


background image

 ") ^KQ , F4K ‚c T6

 ^! 

1

.

 

 

8

 

 

  !  !"   #

 

   K R

N

    b NX 

)

   ‚c 1,

 (

9

              3,G /EG †,  ! "#$ %&  H ) ‹ ( " #+ %&  "

ab>Q /E  );* ;9 ab>c

 .

 3@ " #+ %&  H* H q); _8 H

 )G

 

(N – n) / (N – 1)

 

 ‚c 1,

1

n

,ˆ 

..(

 

 

4

-

1

-

5

 

   

)

 (

 

  

$   

:

 

:

         d  1 e Ž ‚c  ;( 9 "; ( 

3

    M>  F) 

)

   ,8 

 .(

         G k d  Ti 38 14K /K8

5

 

 [F>

4

 [F> 

3

H /K8, &. F)   % * [F> 

.

 

     # 1+ VW R

    () )s

)

  TLB, xy -A(

 (

  UVW H [M>)

   M) 

          !  "#   $ %&

)

r

  (

  )

*+,

.

 "W e UVW R 

-.  / .01 * .  

 d  1 e Ž ‚c 

r

xy 

 .

 

oX

 

/g

 

14K

 



 

n (

 

38

 

D;u

 

xA#

 

r

 

M)

 

\4K

 

p

r

 

14K,

 

TLP

 

(x  –  r) 

 

 M)G

 

 =,G

 

q

x  –  r

 . 

c

 

14K

 

q 9

 

H4_

 

^b

 

HVW

 

-4K

 

p

r

  q

x–r

 . 

H

 

€#W

 

 

H

 

])9

 

.

 

D;E

 

r

 

xy

 

H

 

-

 

X

 

)s

 

%

 

n

 

38

 

)6

 

)s

 

"W

 

xy

 .

   38 ‘

)A

 

MN6@

 

 

A#

 )

xy

(

      4 . ])9   3hB [

=,

 

 G

 

])9

 

4 .

 

>6

 

(r – 1) 

 

xy

 

H

 

-

(x – 1) 

 

)s

 [

=8

 

C

r–1

x–1

  

  

c

:

 

 

+

=

+

+

+

=

=

=

,

.

.

.

,

3

,

2

,

1

,

...

,

2

,

1

,

,

)

(

1

1

r

r

r

r

X

q

p

C

x

X

P

r

x

r

r

x

 

 

/(, / " #+ ,8 1 %& * %&  VW d4

 :

X~BN (r, p)

 

"  ‘ D 1+  m8 d  bQ c HJ

 :

 

P (X =  5) = C

3–1

5–1

  p

3

 q

5–3 

 = C

2

4

  (½)

3

 (½)

  = 6 (1/8) (1/4) = 9/32 

 

µ = r/p = 3/(1/2) = 6 ,  σ² = rq/p² = 3 (1/2) / (1/2)² = 12/2 = 6

 

 $    

 

(

)

r

t

t

qe

e

p

t

M

p

rq

p

r

=

=

=

1

)

(

,

²

²

,

σ

µ

 

nq

nq

q

q

q

)

1

(

3

2

(

3

,

1

4

3

+

+

+

=

+

=

α

α

 


background image

 TP

IV

 .

5 )+X@ 4K F&

 

  

9

 

  

 

4

-

1

-

6

 

   

 

      

 

 .

        

 .

   !"  #"$%

4

& '( 

 :

P(X = 4) = P(PPPF) 

 . 

     * +% %,& -

   ( ./ /.0

.1

   2% 3  

  *%   

   45% 67

)

  $%4 . 69

 .(

   (;% <% =>"+%

X

   ? @% 

 /.7"% %.1A '%. B

)

67*% C(D $ @% .+% C(D E

  (

F*G% HI "% HJ"A

.

 

 K 67*% #"$L M % 

p

 K <N% #"$L4 

q

 #O P"/"O Q1R #"$L% SD 

 :

P(X = 4)  = q

3

p

 

/4 

 #( T #"$% SD   N

 

X

 #O P*  U 

:

 

.

.

.

,

3

,

2

,

1

,

)

(

1

=

=

=

X

p

q

x

X

P

x

 

 

 

   

 

 

(

)

t

t

qe

e

p

t

M

p

q

p

=

=

=

1

)

(

,

²

²

,

1

σ

µ

q

p

q

q

²

12

,

1

4

3

+

=

+

=

α

α

 

  

 V($ 1F/ HI A Q  W $ L  &  F*G% HI "%

r = 1

 

.

 

4

-

1

-

7

 

 

 

 

        

 

 

 .

 B.  

7

 

'%.

 .

  2% #"$% X4

 Y.% ZA. 

6

 Y.% ZA.4 

1

 4 

3

 Y.% '%. 

5

 

.

 

                   [ B"+% HI "% #"\ ]^D Z"7(" JA /.0 $ - #"\ 45% #*(JD ];*% HI " Y(#A  & B"+% HI "%

 B  /.7"  1 V($ %

k

*1#+% _;"*% Q 

]

C`/ Q  K7"% (a"F% H 

 .

  K _;"*% b,G M.

A

1

, A

2

, . 

. . A

k

 K cL#"$L4 

p

1

, p

2

, p

3

, . . . p

k

 . 

 d%$5%  E

)

_;"*%

 (

 A

i

SD (D*"

:

 

= 1 

 

p

1

+ p

2

 + p

3

 + . . . + p

k

 

     /.7"% b,& .O % 

    B  _;"*% 

n

        d$ 1 *  1(\D '%.+% Q 

)

7("

 (

     '%.e B  ? (;% <  =>"

 

P 4

.

 

K '%=>"+% b,G M. 

 X

1

, X

2

, . . . X

k

  

  V($ 

X

+ X

+ . . . + X

k

 = n

    

 

 

!O.+% d2% #"$% !\f

 :

X

 

x

1

, X

2   

=  x

2

,  . . .,  X

k

 = x

k

  

  #O 

:

 

k

x

k

x

x

k

k

k

p

p

p

x

x

x

n

x

X

x

X

x

X

P

.

.

.

!

.

.

.

!

!

!

)

,

.

.

.

,

,

(

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

=

=

=

=

 

    

 

E(X

1

) = np

1

, E(X

2

) = np

2

, . . . ,               E(X

k

) = np

 

V(X

1

)  = np

1

q

1

, V(X

2

) = np

2

q

2

,  . . .       V(X

k

) = np

k

q

 


background image

 g.% h$i% 4 'L#"$L%  W

 hMk% 

1

.

 

 

10

 

 

 

 

     

   

 

 

 

 B"+% HI "%

 _;" Q J. _;"

*  ]B"+% ;%M% F*G% HI "%

 :

 

N

∞, N

i

∞, N

i

/N 

p

i

 

 

 :

B.  *( % 

 

42

\$ ]. 

 PA%  Y.% H !F*" '%.+% Q B  Y O .Cl  #"$% !

)

 Y.%

1

  .eCl 

 Y.% ]ZA.

2

 .Cl 

4

 Y.% ]'%. 

3

 .Cl 

6

%,1&4 '%. 

.(

 

 

( )

12

4

6

2

1

)

6

/

1

(

.

.

.

)

6

/

1

²(

6

/

1

!

12

.

.

.

!

6

!

4

!

2

!

42

)

12

.

.

.

,

4

,

2

(

=

=

=

=

X

X

X

P

 

2

 .

     P/ m4*  Q ![\

5

     Q #. '.O 

1

    

5

         m4*%  CX. n .O o% "%   '%. HJF 

 .

 X4

#"$%

 :

3

 '%  '.O 

 Y

1

 Y '%  Z".O ]

2

 Y '%  Z".O4 

4

.

 

4

-

1

-

8

 

 

1

 

 

   

 

 

 

'%.+% Q ;pL 4 %X =JO B  .1 ( ./ /.0 * Q1"

 .

 =>"+% (;J

X

 HI "% HJ"A '$7*% B  ? @% 

%,& >(  #"F/ #"$L% K\$ !  Q1 ];*%

  1A *  HI "% 

n

=JO 

 .

 a

#"$%

 

20

 %  69 

 qO

n = 100

 :

80

20

20

100

999

.

0

001

.

0

)

20

(

= C

P

.

 

l2 - d2% rs #"$%  14 ]QM/ F /.7"% %.1A '%. B  tJ u%.#"F/ /.7"% .1"A *

 

 

%X %=>

 .

2% b,& - v"

 T ]

 *

n

  4w 

 

 ]

   >(  Bx 

;*% HI "% >(  BA

.

 

 H`

λ

V(y q/z 

 

p = λ/n 

 

            

 

(

)

x

n

x

x

n

x

x

n

n

n

x

x

n

n

q

p

C

x

p

 −

=

=

λ

λ

1

!

!

!

)

(

 

x

n

x

n

n

x

x

n

n

n

n

x

p

+

=

)

1

(

)

(

!

)

1

).....(

2

)(

1

(

)

(

λ

λ

   

 

x

n

n

x

n

x

n

n

n

n

n

n

n

x

p

x

+

=

)

1

(

!

)

1

(

.....

)

2

(

)

1

(

)

(

λ

λ

           

 

x

n

x

n

x

n

x

n

n

=

)

1

(

!

)

1

1

).....(

2

1

)(

1

1

(

1

λ

λ

             

x

n

λ

     

 

 

                                                

 

1

 

    

(Siméon-Denis Poisson) (1840-1781) 

             

1837

 ! "# $% ! 

 &' () !   *+ (, ! -./ (.

(Recherche sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière 

civile) 

 (-   0% 123 ". 

 4 

 .

 67 8 $9 1:   ; $ (8 ( 3 3 <7

1830

 .

 =.>  3 67 ?@AB @C

DEFE =G H ?IF- J/ K   L23 0M K  ! 1N

 .

 OP @ Q Q K 3

[1997]

 .

 


background image

 1R

IV

 .

M 4%/ .< S8P

 

  

11

 

  

 

  

x

n

x

x

n

x

n

n

x

n

x

x

p

n

n

n

=

=

=

=

=

)

1

(

)

1

(

!

)

1

(

!

1

)

(

0

.

.

.

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

 

 T-

:

 

λ

λ

=

 −

e

n

n

n

1

lim

         

     

(

)

1

0

1

1

lim

=

=

 −

x

x

n

n

λ

  

  

 

 V7

 

.

.

.

,

2

,

1

,

0

!

)

(

=

=

x

x

e

x

p

x

λ

λ

 

 (.  

x

 ".  WPG =. ?.  TMP ?.  ! XY 

λ > 0

  .

 =-

X~P(λ)

 

 

 :

 

...

71828

.

2

1

1

lim

=

=

 +

e

n

n

n

   

 

   

 

[

]

λ

α

λ

α

λ

λ

1

3

,

1

,

)

1

(

exp

)

(

,

)

(

)

(

4

3

+

=

=

=

=

=

t

e

t

M

X

V

X

E

 

/ >Z [;J T\

 ]  ;8' TF   W^ ? M ]6

 ^_8 

λ

λ

e

n

n

n

=

=0

!

 :

 

(

)

(

)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

1

1

1

0

0

!

1

!

1

!

!

)

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

x

x

e

x

x

xf

X

E

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

 

 W

n = x – 1 

 

 

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

=

=

=

e

e

n

e

X

E

x

n

0

!

)

(

 

 

(

)

(

)

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

²

²

)

(

²

)

(

)

(

!

!

!

)

1

(

!

1

!

1

!

²

(

²)

(

)

(

0

0

0

0

1

1

1

0

2

X

V

n

P

X

E

n

e

n

e

n

n

e

n

x

e

x

x

e

x

x

e

x

X

E

X

E

X

V

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

 

         

t

  

 .

 

        

t

 

    

λ

   

λt

 

:

 

( )

.

.

.

,

3

,

2

,

1

,

0

,

!

)

(

=

=

=

X

x

e

t

x

X

P

t

x

t

λ

λ

 

 .

   ! "#$% "&'% ( )*%+, -. /0 1% 2 34*%+5 +6+76     .*!

  λ=5 

 34+8 9 

 .

 ; +<' =>

7

?1 34+@ 9 +6+7 

 .

 

(

)

!

7

)

5

(

5

.

1

)

7

(

)

5

(

5

.

1

)

7

(

5

.

1

7

=

=

=

e

X

P

t

λ

 


background image

 )A+#. B+1C  D+<'D /0 E

 BG 

1

.

 

 

12

 

 

           

 .

 

+- H0

 

X

   ! "#$% "&'# 

λ

 I J

Y= aX

   ! "#$% "&'# .EK , 

.

 

 .

  ! "#$% "&'% ( )*%+, -. /0 1% 2 34*%+5 +6+76     .*!

 λ=5 

    J34+@ 9 

6

%

34  +6+7 ), +6+76 LM,  

 .

 1%   +<' =>

9

 +6+7 

34+@ 9 34

.

 

!

9

))

5

(

05

.

0

(

)

9

(

)

5

(

05

.

0

9

=

=

e

X

P

 

     

 

  ! "#$% N .#

 O<  P QE 

(Diagramme  en  bâtons)

 

+R' +#$% S7

 .

  TU   ! "#$'

     )4&R "#$' V W+%

)

        34+<'D +#$'U W+' TU> Y  )4&R "#$' Y  .Z

 (

    3<4\ O +#$ 

 3<U6

λ

   ]H 3ZQ 7^ J

 

              O#' N4\     ! "#$' 34+4& _ .    3+ QE 

 

λ

 

      .`Z# a4

)4&R "#$'  +b4c +b4d .'# "#$'

 +6 

λ

 

3#+*7 S4 + e&-

 .

]H (&% 34+' 34+4& _ .

 .

 

 

 

4

 

1

!  "##$ %!#& '#( 

 ()  

λλλλ

 

  

  

 

.

 

 

 +

n

 ! "#$' /0 )f+8 "#$' g# h!+@ i '6 

 .

 "#$'  3&#.\ jf+'  ! "#$% )R# +4U<

+6 )f+8

:

 


background image

 1*

IV

 .

+k'  .8-l 34+<'D +#$'

 

  

13

 

  

 

 

30

 

 

n

       

        

5

 

<

 

np

  

*

 

5

 

<

 

nq

 

O+ (4f+1C m! _k'># 

34+' 

1

 :

 

n ≥ 25  

  

p ≤ 0,1  

 

 : 

=o>

   +4fc 

  .c

    

0

      ?+' +` +'0 3&> 3p P+'

10

%

 .

     7#   +<' =>

    (! 

 3!o>6

+'*+% +%

.

 

P(X = 2) = C

2

10

 (0.1)² (0.9)

8

 = 0.1937

 

q

2

 .

 ! "#$% +<' +!

 :

 

3<U6 3<4\ D  =>V   

 

λ

 

)

 ! +\ 3<U

:(

 

λ = µ = np = 10(0,1) = 1

 

         

 

 

 P(2) = λ

x

 (e

–λ

/x!) = 1

2

  (e 

–1

 / 2 !) = 1/(2e) = 1,1839  

 

4

-

1

-

8

-

1

 

    

 

               O ' D+r 9 <'># _4 S7 JO + sl 48<' i <'># 3U#t O.'*  ! "#$% u

 .

   +r 9

 _U
                      34\ +4 4& 9 3c O +  38&6 +b#G   3  B+#4* 9 Q8  ! "#$% _k'># 34\

(microbiologie)

 

+v  9 +#e'7& .@+7% 3&\.6

J

. . . 

 

 

        9  ! "#$% _k'># e4>' +r 9

    J+4f+10 O G 3&\.

)

    +<' +>w

      J3*+'   

 (...

  +<-

  3U' f+> 3    x+E 7c! _k'>#

"

+Z'D .,Z!

"

  ;   .'*# + e8- Jf+>6  z M, )* {

       ! "#$% "&'# 3| +7 /0 f+!

 .

  ]H 3U8  

 :

           .E&   J$ O 9 +R6 /0 1% 2 .f+R 

2

     2 34*%+5 +6+76   J$ O 9 }#.! ='7 /0 U1# #M f+!   J$ O 9 B+4 /0 1% 

            J~*c'> /0 1% 2 34+' D D+w   J)*%+, -. /0 1%

 ...

       +Z'D *; 3#.Z 9 .,Z LM, ~<>%

"

; .,Z!

 ."

 

1

 .

   3   h4!

+4# ('@ +   ! "#$% "&'# ( < 9 < s  

 .

 

( _# 9 s + }  ># D   +<' 

 .

_# 9 \l ~U s + +<' 

:

 

P(X = 0) = λ

x

  (e

–λ

/x!) = λ

0

 (e

–λ

/0!) => P(X = 0)  =  e

–λ  

 = e

–2

          

 

P(X ≥ 1) = 1– P(0) = 1– [λ

0

 (e

–λ

/0!)] => P(X ≥ 1) =  1 – e

–λ 

 = 1 – e

–2 

 

2

 .

                3+> (! 34 #€! 3R /0 1% 2 +4>     3!+  34f+10 3   h4!

12:00

  

12:05

   9 , 

  i '6

3

               ! "#$% "&'# 3R‚ /0 1% 2 +4>     3  h4! +<- J+4  

 .

   1%   +<' 

  

4

 

 (! +4 

12:00

 

12:05

.

 

 3+> 9 +4>   i ' 

 =

2

 

X

 

3

 = 

6

:

 

= 1296 (e

–6

/24) = 54 (e

–6

)                  

 

P(X = 4) = 6

4

 (e

–6

/4!) 

 

                                                

 

1

 

 

 ]4!$  .Z

1997

 x J

262

 .

 


background image

 )A+#. B+1C  D+<'D /0 E

 BG 

1

.

 

 

14

 

 

)!

(

!

!

x

n

x

n

C

x

n

=

4

-

1

-

9

 

 

 

Oe`c 3R'6 +#$'  q+ N,  „kU# …oU6 G

 .

 

+

 

1

  ,-(  

- ./ 01) 2 !#3

 

%!#3

 

4-! 5

 

67(3 8) 13

 

9

 

! :3 %;#3

 

<=3 >?

 

X~H(N,

 

b, p) 

 

 

z+ 0 ! =o 

.

 

(*;  +#.-

.

 

X  = {0, 1, 2, …, b} 

 
 

b ≤  b + r = N

 

 

n

N

x

n

r

x

b

C

C

C

x

X

P

=

= )

(

 

 

n

   

3!o>6 +#.7

 

 

 N

 

 

 )U7

 +#.7U

 

b

 

 B+†4& +#.7   

 

r

 B.<w +#.7 z 

 

µ

 = np

 

=

1

²

N

n

N

npq

σ

 

p = b/N 

 

q = r/N

 

     

 

   
        
        

 ! 

.

 

Xi = {0, 1, 2,…,Ni} 

 

Σx

i

 = n, 

 

ΣNi = N

 

 

P(X

1

=x

1

, X

2

=x

2

, …X

k

=x

k

) =

 

 

n

N

x k

N k

x

N

x

N

x

N

C

C

C

C

C

=

3

3

2

2

1

1

 

E[X

i

] = n (N

i

/N) 

= np

i

 

# $

 

X~B(1, p)

 

    % & '$(

)

  *+

%,!

 (

./0.  1234

.

 

X = {0, 1}

 

P(X = 1) = p, 

 

P(X = 0) = 1 – p = q

 

µ = p,    σ² = pq

 

 

X~B(n, p)

 

   5'/0.  '06  7,(

 '83.9 %,!

)

  p

 

:$6

.(

 

X = {0, 1, 2, …, n}

 

P(X = x) = C

x

p

q

n–x

 

 

µ= np, σ² = npq

 

   

)

 

(

 

X

:

    7,/.   < 
   =8<  >?@8  'AB

    <

r

   &/   

'0 $ 7,( C

.

 

X = {r, r +1, r +2, 
…, +∞}

 

P(X = x) = C

r–1

x–1 

p

r

 q

x–r

 

µ = r/p ,

 

 

σ² = rq/p²

 

 

X

:

    7,/.   < 
   =8<  >?@8  'AB
 C >D E/

%,! '0 $ 7,(

.

 

X = {1, 2, …, +∞}

 

P(X = x) = q

x–1

p

 

µ = 1/p, 

 

 

σ² = q/p²

 

 

 

      A.8 F0GH4 I
     '$(  =8<  

J. % H. %,!

 .

 

=

=

=

=

N

Ni

n

xi

Ni

xi

i

k
i

k
i

1

1

,

,

0

,

 

=

=

=

=

)

,

.

.

.

,

,

(

2

2

1

1

k

k

x

X

x

X

x

X

P

k

x

k

x

x

k

p

p

p

x

x

x

n

.

.

.

!

.

.

.

!

!

!

2

1

2

1

2

1

 

 

E(X

k

) = np

k

 
 

V(X

k

) = np

k

q

k

 

 

 

X~P(λ)

 

λ > 0

 

 

X

 :

    < 
 %.K C L &D

A

   5

   &   <

   '@  C  ' .

   

 5MN

...

 

X ={0, 1, 2, … 
+

∞}

 

!

)

(

x

e

x

X

P

x

λ

λ

=

=

 

P(X = 0) = e

–λ

 

 

P(X ≥ 1) = 1 – e

–λ

 

 

E(x) = V(x) = λ

 


background image

 1?

IV

 .

O. D '0G.&P H A.

 

  

15

 

  

 

4

-

2

 

   

   

 

 

  D. Normale ou D. de Laplace-Gausse  

 

 

 

 

 Distribution exponentielle

 

 

 

Distribution  gamma

 

 

 Distribution bêta 

 

4

-

2

-

1

 

      

 

1

 

 

  H  

 IQ  %*2 '29  =8< R2S4 T?U  V W X O.P 'H '0G.&P H A. FI  H02S  A.

' ?.YP '0<G.P '0H02S

 .

 , C  ,W     'Z 'K ?$  .U 8K

 %*2 '29    F[ 9Y  \

'3 ,?Y   '$,3 '29  '3 >[  '808Y '29  5 ].  '2 Y ^

 .

MA_ '29$ `I 1

 .

 8 

 a 5>G.&P V0G9  M !b   5'29 1b c` d@W M!  /.  H. F8H C  02 e`I

  1!

H02S  A.   I ].W >& 16G.

 

)

F Q

(

:

 

 

 

 
 
 
 
 

4

-

2

-

1

-

1

 

  

 

            

 :

 

 

<

<

−∞

=

x

x

e

x

f

2

2

/

1

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

 

   

)

   

 (

 

   "# $%& # '( 

 

                                                

 

1

 

 

%  )  *+,

(-%.  ) .  / ) 01 .  ) 2

 

 34,5 

 (Pière Simon de Laplace 1749-1827)

  36 78 /

   (Carl Freidrich 

Gauss 1777-1855)

)-9   :; <=  "# >0 /? "# - ":  

 .

 )+A, B      ( CD? "# #?

(Pearson)  

 E 

1893

 .

%F-?

 

G ,/ H

 

(1997) 

I J

 329

 .

 

 

4

 

2

 

    

f(x)

 

x

 

µ

 


background image

 2%  KLMN  / O5M5  PQ >R #

 K1T  

1

.

 

 

16

 

 

+

=

2

²

²

exp

)

(

µ

µ

t

t

t

M

x

 −

=

=

x

v

dv

e

x

X

P

x

F

2

2

/

1

2

1

)

(

)

(

σ

µ

π

σ

 

 U M

µ

σ

 V  WD X 

YH  Z %[5 / 6

 .

 

-/

 

X ~ N(µ, σ)

 

4

-

2

-

1

-

2

 

  

 

 

 H  $A\  ] ^(

Z = (X – µ)/σ

O5M4  0LMN  _/  T  " 

 :

 

  P(0 ≤ Z ≤ z)

 /?

F(z) = P(Z ≤ z)

J

 

     ,, `( U M

f

F

a 5 , 

  M / _B

Z

 "# 5 , 

3

 > ;

x

µ

σ

 

  Gb/

:

 

 

<

<

=

z

z

f

e

z

2

/

²

2

1

)

(

π

 

=

=

z

u

du

e

z

Z

P

z

F

2

²

2

1

)

(

)

(

π

 

cA\  c,  d  64  PQ %F,

 

X

Z

 J

 )e

Z

  f.-   

X

   Y? 

 .

-/

)? *

:

 

 

E(Z) = 0,  V(Z) = 1 

 

 

 :

Z ~ N(0, 1) 

 

_9-/

 :

Z

YH        

.

 

4

-

2

-

1

-

3

 

   

 

 

 

]/1 $     

 $A\ 

 

 

 

 

 

 

5 #  g  h-?        i0LR  "#

J

`.   >##  g  U M  J.#  5/   , #  5 

1

 

  =  3)

4

  

O  _  D5  H # 

.

 

 h-? k?     i0LR "#

 6   9  _M >l#

0

3

3

3

=

=

σ

µ

α

 

 

  # >lm

X

 

  n+  _M

)

-?

 %F

C-? *+%

 (

   >lm o

Z

  _M 

0

 $A\  6 Y? >p? "#  h-? o q J

H

 

  

z > 0

 

                                                

 

1

 

 `.  >## \ r (M 

α

4

 = µ

4

 / σ

4

 \ L  ] ^( "  (, #? J

α

4

 = (µ

4

 / σ

4

)

 

 - 3

 Y/(    `.  ># J

0

 .

 


background image

 >L.

IV

 .

#  ^+  %8   M5  O

 

  

17

 

  

 

 

 

P(0 ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ 0)  = P(-z ≤ Z ≤ z) / 2

 

P(-

 ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ 

) = P(-z ≤ Z ≤ z)/2

 

 P(Z ≤ -z) =  1– P(Z ≤ z) = P(Z ≥ z)

 

 H  $A\  ]  ^+

Z

 O5M5  s(t `u 

)

OM(

 (

rR B#/   vw

  :

 

P(-σ ≤ X ≤ σ) =  P(-σ ≤ Z ≤ σ) = 0.6837, 

 

P(-2σ ≤ X ≤ 2σ) =  P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544, 

 

P(-3σ ≤ X ≤  3σ)  =  P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973. 

 

:;

p %  "# A  E ; x y   0LMN  _/  T  E $%# ;Az/ * 9  C

.

 

   vw $A  M(# )? {M5 J2%  6  s%9, O %.  1% k?     i0LR "#

)

 *+%  %F-?

C-

 (

  _|  E $HL}

(-3 σ ≤ X ≤  3 σ)

 O %.   (- )? o # J

 p  ~2 _|   :; "D %€ y

:

 

P(X ≤ -3σ) = P(X ≥ 3σ)  = (1 – 0.9973) / 2 = 0.0027.

 

P(X ≤ -4σ) = P(X ≥ 4σ)  

 0 ,         P(X ≤ 4σ) = P(X ≥ -4σ)  

 1       

 

 

  

   -z             0            z                       Z

 

 

P(-z ≤ Z ≤ 0)

 

P(0 ≤ Z ≤ z)

 

P(-z ≤ Z ≤ z)

 

P(-

 ≤ Z ≤ z)

 

P(-z ≤ Z ≤ 

)

 

P(Z ≥ z)

 

P(Z ≤ -z)

 

 

4

  

     

 


background image

 2%  KLMN  / O5M5  PQ >R #

 K1T  

1

.

 

 

18

 

 

µ - 4σ

µ - 3σ

µ - 2σ

µ -1σ

µ

µ +1σ

µ + 2σ

µ + 3σ

µ + 4σ

2σ = 68.26%

4σ = 95.44%

6σ = 99.73%

 

 :

  0LM5  _/  T  _+,

1

  (

 (M?

 :

P(0 ≤ Z ≤ z)

 U M 

z =1, 2, 3

 

2

(

 

 (M? 

 

 

P(-z ≤ Z ≤ z)

 _ * 9  f.- >p? "# 

z

.

 

1

 (

0.3413

 J  

0.47725

  J  

0.49865

 

2

   (

0.6827

    J

0.9545

    J

0.9973

 

4

-

2

-

1

-

4

 

 

        

 

M E

/ $A  

p

 "# %6 Az 

0

    p %9 0    H D  " 

 .

 %? '0- )  /

 v-  ,H9

n

%? $A  

  .

-/

:

 

npq

np

x

z

dz

e

b

z

a

P

b

a

z

n

=

=

→

,

2

1

)

(

lim

2

/

²

π

 

 )     "# 0    sH9 ‚%(/

p

 "# %6 

0.5

.

 

 !"# $%&

 :

 

 

 # D 04# 0    PQ %9  g- #D

np 

nq 

# g? X4 

 "

0.5

.

 

0LM5  ƒ, ] ^( 

ƒ, "# >B+? Bk, „%R?  D 6 )

1

 

B#

 :

 

npq9 

 

n  20, np  10, nq  10

 

                                                

 

1

 

 

 G ,/ H %F-?

1997

 .

 I

262

 .

 

 

4

4

 

 

 '( ) *

 +,

 - ./# 01

23(45#

 


background image

 >L.

IV

 .

#  ^+  %8   M5  O

 

  

19

 

  

 

4

-

2

-

1

-

5

 

       

 

 # D

 λ→ ∞

 

-/ 9,# '0- )  )+ ,/   c  )e

:

 

→

=





b

a

z

dz

e

b

x

a

P

2

²

2

1

lim

π

λ

λ

λ

 

%9  $ D6

:

 

 

 %9  )? g- #D

   PQ )+ ,   "#

 

 *04#

 

 

λ ≥ 15

    

 

 

c 0LMN  "#  D   

1

 %9 …%= 

λ ≥ 10

 

†4  O  '0- sH9 )? "/

:

$H:  …/%=  (M  / )+ , J0  

.

 

4

-

2

-

2

 

   

 

            

 .

"  #$ 

  % &'( )*  %+ ,-. 

  %/ 0 1'  %2. 3" 43&'

5 6   718 -9 : ;<=

...

   9   

  

 >) ?;@  A   BC

(atomes radioactives)

 D E 6 - F <2    G  + H A %#*&' :I -9 

J CK L1=

.

 ) :ME % @( -  NAI O9P :Q $ME %:  3.- 9R     
 :ME :  -  " Q3 ST  7JP :Q $T %#$ 6   7BCQ U  -' VWA O9P V

 : 7JP V  X )

"I

 "

  -' Z) :P

 .

 :=  [ J \X X  9R ]@( V-'

 .

 

4

-

2

-

2

-

1

 

 

           

.

 

 7^ : ' -' V C  C NA   :I ; _X

λ

 

 NA

 .

 

A ` :I 7CA aPI

 9 6   N

)

3BQI PI NA

 (

 

 

t

 

.

 

 

  

        P(X ≥ 1) = 1 – e

–λt

 

 

P(X ≥ 1) =1– P(0) =1– [λ

0t

 . e

–λt

/0!]     =>

 

 d 3X

T

   

)

 (

VWA V

 

 X :*  :$T

 

f(t)

 

P %VWA V   EB* 

F(t) = P(T ≤ t) 

  

 7 

T

 .

   

 

 e2X

 7CA

P

 :I 

 VWA V  :*

 

9I PI

:

 

 

  X

P = P(T ≤ t = 1)

 

:$T

 :

 

        

)

1

 ............ (

P = F(t = 1)

 

 

 g3"I  A= 

I

 :

P

V   NA 9 6   ` :I 7CAh 7 ( 

:

 

)

2

(

 

..........

 P = P(X ≥ 1) = 1 – e

–λt 

 

 

)

1

 (

P

)

2

 (

    :I iX=

)                                

3

............ (

    

t

λ

 

e

 

 

1

 

=

 

)

t

(

F

 

 

    jX P

         

    

      

  

f(t) = F(t)’ = (1 – e 

–λt

)’

 

λ e 

–λt                                                                 

 

f(t) =

 

                                                

 

1

 

j&= a3) 

.

 


background image

 k3 l1Am P ?hCAh ST "

 lo 

1

.

 

 

20

 

 

 9

 :

P   ;3*  >  NA :Q $T

: ' pE

:

 

( )

!

)

(

x

x

p

e

x

λτ

τ

λτ

=

 

  :ME

T

Z  - VWA V 

:

 

>

=

0

,

0

0

,

)

(

τ

τ

λ

τ

λτ

e

f

 

 H A

λ

ea  A   

 .

 

 @( 6C

:

:  j9R e   qI 6CP   

.

 

 

 

4

-

2

-

2

-

2

 

   

 

t

t

M

Med

x

=

<

=

=

=

λ

λ

µ

µ

λ

σ

λ

µ

)

(

,

)

2

ln(

,

²

/

1

²

,

/

1

 

(+=

 k3 9 6   

 CQ    - P

 :

 

[ ]

(

)

[

]

.

1

)

(

1

0

0

)

(

.

)

(

,

.

)

(

.

)

(

0

)

(

)

(

0

0

0

0

0

0

0

0

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

+

+

+

+

+∞

+∞

X

E

e

dx

e

e

x

vdu

uv

X

E

e

v

dx

e

dv

dx

du

x

u

udv

dx

e

x

dx

e

x

dx

x

xf

X

E

x

x

x

x

x

x

x

 

[ ]

(

)

[

]

.

²

1

1

²

2

(

²)

(

)

(

.

²

2

)

(

2

2

0

)

2

(

²

²)

(

.

)

(

,

2

²

.

)

²(

)

²(

0

)

(

²

²)

(

(

²)

(

)

(

2

0

0

0

0

0

0

0

0

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

=

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

X

E

X

E

X

V

X

E

dx

xe

dx

x

e

e

x

vdu

uv

X

E

e

v

dx

e

dv

xdx

du

x

u

udv

dx

e

x

dx

e

x

dx

x

f

x

X

E

X

E

X

E

X

V

x

x

x

x

x

x

x

 

 

4

5

  

      

      !

"# $ %&'( ) *+ , -.

.

 


background image

 

IV

 .

   

 

  

21

 

  

 

          !"#$ 

 :

 

>

=

=

=

=

+

=

=

+

=

=

>

0

,

0

0

,

1

)

(

0

0

)

(

:

0

1

1

0

)

(

)

(

:

0

0

0

0

x

x

e

x

F

du

x

F

x

e

e

e

du

e

du

du

u

f

x

F

x

x

x

x

x

x

u

x

u

x

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

 

4

-

2

-

3

 

  

 

  &' () $)* +, -  .  !   )  / 012 3)  ( ,

 45 &6  ,  , 

-7 8(

 .

 3 9(1 :; - !<" =' $

F

 >

t

?) >

2

 .

   "@ A3   ( , B 5

C  D)E FG 'H6) H  ,

1

 .

 

4

-

2

-

3

-

1

 

 

 

J 6 F$ .K  ( , L, M; NO  &PQ  !  RS$

  9

:

 

>

=

0

,

0

0

,

)

(

/

1

x

x

e

cx

x

f

x

β

α

 

 T

 

( )

0

,

0

,

)

(

,

1

0

1

>

>

=

Γ

Γ

=

β

α

α

α

β

α

α

dx

e

x

c

x

 

 

0

,

0

,

0

,

0

0

,

)

(

)

(

/

1

>

>

>

Γ

=

β

α

α

β

α

β

α

x

x

e

x

x

f

x

 

4V$)

 

Γ(α, β) 

 

X ~

 

                                                

 

1

 

 

@$;

 :

 >0)HW ) 0W

1983

>

 

158

.

 


background image

 Y Z[ )  \K H

 Z+^ 

1

.

 

 

22

 

 

 

4

-

2

-

3

-

2

 

  

 

 

 µ = α β   ,   σ² = α β²,   M(t) = (1 – βt)

 –α 

  

 

 _; !

α >1

:

 

  Γ(α) = (α – 1)Γ(α – 1)    

 

  ` )

α 

 N

 :

 

  Γ(α) = (α – 1)!  ,  Γ(1/2) = √π  

 

 !;  ( , !  aH  " PH <9J >  3 (1   ( 

α  =  1

? , 0;  > 

2

  b " 

 7  ( , !  aH

α = ν/2 

 

 !;

ν

)  c 4_  Ld 6   

 

β = 2

.

 

 

, .

.

   45; 

 :

 

( )

( )

( )

.

5

.

2

,

5

.

4

,

7

,

,

,

0

2

/

1

0

6

0

4

Γ

Γ

Γ

dx

x

e

dx

e

x

dt

e

t

x

x

t

 

( )

=

=

Γ

=

=

=

Γ

=

,

720

!

6

7

,

24

!

4

)

5

(

0

6

0

4

dx

e

x

dt

e

t

x

t

( )

π

=

Γ

=

=

2

/

1

,

720

0

2

/

1

0

2

/

1

dx

e

x

dx

x

e

x

x

 

 

( )

(

)

( )

( )

( )

5

.

1

)

5

.

0

(

5

.

1

)

5

.

2

(

,

720

!

6

7

5

.

2

)

5

.

2

(

5

.

3

5

.

3

5

.

3

1

5

.

3

5

.

4

=

Γ

=

Γ

=

=

Γ

Γ

=

Γ

=

+

Γ

=

Γ

 

)

( )

π

π

)

5

.

0

)(

5

.

1

)(

5

.

2

(

5

.

3

5

.

0

)

5

.

0

)(

5

.

1

)(

5

.

2

(

5

.

3

5

.

2

=

Γ

=

 

( )

π

5

.

1

)

5

.

0

(

5

.

1

)

5

.

2

(

,

720

!

6

7

=

Γ

=

Γ

=

=

Γ

 

2

 .

 

     

X

 

Y

 

Z

  !  "# 

:

 

( )

>

=

>

Γ

=

,

0

,

0

0

,

)

6

(

4

)

(

,

0

,

0

0

,

5

2

)

(

4

4

/

3

5

2

/

4

f

y

y

e

y

y

f

x

x

e

x

x

f

y

x

 



>

=

0

,

0

0

,

6

)

(

,

0

0

2

z

z

e

z

z

f

z

 

 

,

20

²)

2

(

5

²

²

,

10

)

2

(

5

=

=

=

=

=

=

x

x

αβ

σ

αβ

µ

 

 

 

4

6

     

 

     f(x)           

 
 
 
 
 

 

 

0                                                                               x

 


background image

 %&'

IV

 .

() #!*  + ,

 

  

23

 

  

 

3

²

,

3

)

1

(

3

,

64

²)

4

(

4

²

,

16

)

4

(

4

,

20

=

=

=

=

=

=

=

z

z

y

y

σ

µ

σ

µ

 

4

-

2

-

4

 

  

 

           

)

  

 (

  "#$ %&'# ()

 *

F

 +,-. *+,-.  *

/0 1#

1

 3 4 567 8 9. %&'# *

 :

0

 

1

;< *5 7   = > #-?  > # 9. *

 .

 

4

-

2

-

4

-

1

 

  

 

+ ? AB.? >C D? E<     F  >,GH 6 IH J

:

 

(

)

(

)

)

0

,

(

0

1

0

,

1

)

(

1

1

>

<

<

=

β

α

β

α

β

β

α

ailleurs

x

x

x

x

f

 

 

 

  ()

B(α, β)

 >& +/ 

:

 

    

0

,

,

)

1

(

)

,

(

1

0

1

1

>

=

β

α

β

α

β

α

du

u

u

B

 

 

 

 

B(α, β) 

 

 

X ~

 

 

 

4

 

7

  

   

     

 

α

  

β

 .

   !" #$ % &  '(&" )*+

x = 0.5

 

4

-

2

-

4

-

2

 

 

 

 

 

(

) (

)

1

²

²

,

+

+

+

=

+

=

β

α

β

α

αβ

σ

β

α

α

α

 

  ,"-" ,  ."

:

 

                                                

 

1

 

L# M7 

.

 

0                           0,5                          1                 X             

f(x)

 

 

    1

 

 

α

 = 2, 

β

 = 4

 

 

α

 = 4, 

β

 = 2

 

 

α

 = 1/2, 

β

 = 1/2

 

 


background image

 +N OP)Q  5R)R S< 9T&

 OV 

1

.

 

 

24

 

 

)

(

)

(

)

(

)

,

(

β

α

β

α

β

α

+

Γ

Γ

Γ

=

B

 

J.

 .

+  1#) 

 :

 

)

(

)

1

,

(

),

,

1

(

),

2

,

(

),

2

/

1

,

2

/

1

(

),

4

,

3

(

N

n

n

B

n

B

n

B

B

B

 

( )( )

B

B

,

)

2

/

1

(

)

2

/

1

(

)

2

/

1

,

2

/

1

(

,

60

1

120

2

)!

1

7

(

)!

1

4

(

)!

1

3

(

)

4

,

3

(

=

+

=

=

=

=

π

π

π

 

n

n

n

n

B

,

)!

1

(

1

)!

1

2

(

!

1

)!

1

(

)

2

,

(

+

=

+

=

 

n

n

n

n

B

n

n

n

n

n

n

n

B

1

!

1

)!

1

(

)

1

,

(

,

1

)!

1

(

)!

1

(

!

)!

1

(

1

)

,

1

(

=

=

=

=

=

 

J.

2

 .

+  1#) 

:

 

1

0

1

0

3

4

)

1

(

,

)

1

(

dx

x

x

dx

x

x

,

)

2

,

3

(

B

 

12

/

1

)]

4

(

3

/[

1

)]

1

(

/[

1

)

2

,

3

(

=

=

+

=

n

n

B

 

 

( )

,

280

1

!

8

!

3

!

4

)

4

5

(

)

4

(

5

)

4

,

5

(

)

1

(

1

0

3

4

=

=

+

Γ

Γ

Γ

=

=

B

dx

x

x

 

6

/

1

!

3

!

1

!

1

)

2

,

2

(

)

1

(

1

0

=

=

=

B

dx

x

x

 

 >WX J

)

(

)

(

)

(

)

,

(

β

α

β

α

β

α

+

Γ

Γ

Γ

=

B

 

 &Y

  1   >B. >C Z 

[

:

 

(

)

(

)

<

<

Γ

Γ

+

Γ

=

ailleurs

x

x

x

x

f

,

0

1

0

,

1

)

(

)

(

)

(

1

1

β

α

β

α

β

α

 

 &-H W  I >\T >) / +] 

α = 1 , β = 1/λ 

  .

 

2

 &-H W  I >\T >) / 

 

α = υ/2 , β = 2

 ()    

υ

_ 1M + ` C&H 

.

 

J.

3

 .

   = aQ > # D? E< *I  = ab >W7 > #- 1#) 

:

 

 

<

<

=

sinon

,

0

1

0

,

)

1

(

6

)

(

5

x

x

x

f

 

-& L# J.7 I

 :

).

6

,

1

(

/

1

6

/

1

)

,

1

(

B

n

n

B

=

=

 

 

 

N

α

  

 

β

 Z# 

1

 

6

 Z  &Y *c dH 

 

B(1, 6) 

 

 

X ~

 

-

 :

(

)

.

20

/

1

)

5

(

16

4

)

1

²(

²

,

2

/

1

=

=

+

+

+

=

=

+

=

β

α

β

α

αβ

σ

β

α

α

µ

 

J.

4

 .

c    >#e f g 7 aQ > #

 .

>W7 > #- 1#) 

 

 Z  J)

 &

 > #-

IH

35

%

 . 

 

%

60

5

/

3

2

3

3

)

2

,

3

(

~

)

2

,

3

(

/

1

12

4

*

3

12

sinon

,

0

1

0

),

1

²(

12

)

(

=

=

+

=

+

=

=

=

<

<

=

B

X

B

x

x

x

x

f

β

α

α

µ

 

.

)

1

²(

12

)

35

.

0

(

1

35

,

0

=

>

dx

x

x

X

P

 


background image

 9Ph

IV

 .

&' .?] >)R 5

 

  

25

 

  

 

 I

 

1

²

:

=

=

x

u

et

dx

x

v

soit

 

3125

.

0

²

3

)

1

(

12

)

35

.

0

(

1

1

35

,

0

1

35

,

0

3

=



+

=

>

dx

x

x

x

X

P

x

 

4

-

2

-

5

 

 

 

  

      !" #

.

 

 

2

         

 

 

  ! "

 

 #

$  %

 

 &'(

 

  )*$+ 

,-*

 

X~N(0, 1) 

 

 

 

Med = Mod = µ = 0, σ² = 1

 

 P(Z ≤ -z) = P(Z ≥ z)

 

 P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6826, 

 

 P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544, 

 

 P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.

 

)  

 

>

=

0

,

0

0

,

)

(

x

x

e

x

f

x

λ

λ

 

µ

 = 1/λ, σ² = 1/ λ² 

F(x) = 1– e

–λx

 

Med < µ,  P(X ≤  

µ

) = 0.63 

 

.

 

 

X~ Γ(α,β) 

 

0

,

0

0

,

)

(

)

(

/

1

>

Γ

=

α

β

α

β

α

x

x

e

x

x

f

x

 

α > 0, β > 0

 

µ = α β, σ² = α β²

 

0

,

)

(

0

1

>

=

Γ

α

α

α

dt

e

t

t

 

  */ .

 

B(α, β) 

 

 

X ~ 

 

 

>

<

<

=

;<=>?

x

B

x

x

x

f

,

0

0

,

,

1

0

,

)

,

(

)

1

(

)

(

1

1

β

α

β

α

β

α

µ

(

) (

)

1

²

²

,

+

+

+

=

+

=

β

α

β

α

αβ

σ

β

α

α

α

 

du

u

u

B

=

1

0

1

1

)

1

(

)

,

(

β

α

β

α

 

)

(

)

(

)

(

)

,

(

β

α

β

α

β

α

+

Γ

Γ

Γ

=

B

 

 

α > 0, β > 0

 

B(1, n) = B(n, 1) = 1/n 

 

 (n>0, n

)

 

 

 

<

<

=

z

z

f

e

z

2

/

²

2

1

)

(

π


background image

 %& '!(   )* +"

 '-  

1

.

 

 

26

 

 

4

-

2

-

6

 

 

          

 

  ./    + %  0 1  2  23

)

 5678   5 " 

 (...

 : ;*

 <

=

 >?@ 

1/λ 

 1A3# 0BC  

 

(vieillissement)

 

 

 :D ED

 6  

  7F  ? .7 

T

 

 

t

 =3G 0HI 

t

  

 7J# 0HI 

T

 K

 LD MN

+HO P .7 QA R  ? @S

 .

 

 

 : 

   GU A VW  +XD P

T

 

 F P Y#ZW8 [ ZHI \] 

 .

 PU

P(t)

 

 7J# ^ )* _W D Z3  

t

 ` a bcOI 1 2  .  5

(t, t

1

)

 d 

t

1

 = t + ∆t

 . 

 'W?

G  23 e#2

 :

P(B/A) = P(AB)/P(A)

 :

 

P(t

1

/t) = P(t

1

)/P(t)

 

 

 g -W h"D QX P

Q(t, t

1

)

 56i ` j" +Z2 kO  

 

Q(t, t

1

) = 1 – P(t, t

1

) = 1 – P(t

1

)/P(t) = [P(t) – P(t

1

)]/P(t)

 

 = [P(t) – P(t + ∆t)]/P(t) = [P(t) – P(t + ∆t)]∆t/P(t)∆t 

 

:D l#8

 :

 P'(t) = lim

∆t

0

 [P(t + ∆t) – P(t)]/∆t  

 

bW

 

 

 

  

 

Q(t, t

1

) = [-P'(t)/P(t)] ∆t + ο(∆t) 

 

 0&? 

  -P'(t)/P(t) = λ(t)

  a  f 

∆t

0

 

 

Q(t, t

1

) ≈ λ(t) ∆t

 

λ(t)

 c j" mOI n ZO :D  . 

(0, t)

 op Z2   b#2 Y#Z  #H3 7J# a mOI 

(taux 

de défaillance instantané)

.

qU8 

 :

 

λ(t)dt = P(T

BF

 < t + dt | T

BF

 > t)

 

 PD

T

BF

 7J# iW +Z2 :A Z3 +2   +r 

(t = 0)

 g 6!" < -W   5

T

.

 

 

0                      t      

      ∆t

             t

1

 

 


background image

 +!c

IV

 .

   

 

  

27

 

  

 

 7J# +HO +Z2 kO 1 2 

t

 - 

 g b

v(t)

 Z3#  A D F A +s  

)

 - 1  8D

R(t)

 .(

 

    

.

 P- P2 jZ j3  G a ED Z2   63   a 

t

  :U 

λ(t) = λ

 

?@

 .

 7F ^ )* Z3  

t

D kO 1 2  bI; . 

 &c +/ a 5c ti. j" +Z2 E

 Z2 A 2 :U P- P2 <j3  Z2   H@ P2 3?

)

 g b -W

X

 (

 c a

t

 : ? 0I 0H 

 g

 

P(X = 0) = (λt)

e

-λt 

/0! = e

-λt

 = v(t)

 

 

 "#

4

$

 

8

  

      % &' (

v(t) = P(T > t) = e

-λt

 

λ

 Z2   D P   a Z2 A 2 =  

(taux de défaillance)

.

 

     VW  PUs - uc8 P

T

 a 03I R Z2 A 2 +r  X vw 0&? Z3    

 P- 

(0, t)

:

 

= P(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – e

-λt

  

 

F(t) = P(T ≤ t)

 

 vw# GU A e#2 +!x 0 A y3\?

T

 :

 

f(t) = F'(t) = λ e

-λt

    (t > 0) 

 

%  0 A %.

 .

 

 

%. Z3 F O 

 

λ

λ

λ

λ

λ

/

1

)

(

/

1

)

(

)

(

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

=

dt

e

dt

t

v

dt

e

t

dt

t

tf

t

E

MTTF

t

t

 

Z2   g#3 . 

 .

 

 

 vwz W G a +Z 

dt

Z3  

 .  ? +ZI n 

λdt

.

 

 )* + ,

(temps  de  éparation)

 .

  #  GU A VW  +#J a {; 3Z 1 8 :D PUs

       #Z ZO |jz* #2 QOwI R

T

R

              63}   a |jz( A )* +!W 3? Z~ uc8 0H8 d 5

|jz( 

:

 

f(t) = µ e

-µt

    (t > 0)

 


background image

 %& '!(   )* +"

 '-  

1

.

 

 

28

 

 

 d

µ

P   a jz( A 2 =  ED |jz(   

.

 

 

 |jz(   =

MTTR = 1/µ 

 

 

 -.   )* +Z  P 38 

)

#!I

 (

   a

dt

 E 

µdt

.

 

 g Q  F 8-6 ;* 

1

 g +Z F  

0

38  :UI 

+  

:

 

 

 

:U 63   a 5G6 ##  +s l

 :

P'

0

(t) = P'

1

(t) = 0

 

  

 λP

0

(t) = µP

1

(t)

 

 

 d

P

0

(t)

  -.    

P

1

(t)

+Z   

.

 

63  €\ +& a

 :UI :D  ED -.  \] . " lQ \] e#2 +!J8 ‚6 78 1 ?  

  7F a Fz Z3

A(t) = A

  

t

L   )* ]I 

:

 

MTTR

MTTF

MTTR

A

+

=

+

=

µ

λ

µ

 

 .6 3 -.X :ƒG  +H  e#2

99

%

 +I ZO D 17W 

24/24

 „I 1 a 2  

7

2  

 Q… a +ZI 

 W?

15

 P2 +3I  -.X q#Z 17W uwW Q… a +ZI 3OA 

%99.965

 .

 

 j

  78 a %  0 1 8

(théorie de la fiabilité)

 

 >8 ;*  Q#ZI +HO  +2   +

 ucW? +Z# †I   s 3 p

.

 # %. p 2 P W # a A2 €… i. Y3J 

1A3 G  yjZ8 G ‡? Z

 .

 _W +w… ) c a

(période de rodage)

 +Z  :U 

 Z3 D p 0W!I #2 a W  38 qH? vH

)

 +#" 5 A a +#"

 5q a

(...

 Z~ i. PU 5

 2? 'B

)

MJW 78D

 (

 %HZ jw  G e2 I 8 # ˆS

(période

 

d'exploitation normale)

 

 3 Z2   :U d

(t) = λ)

λ

(

 .

 #3 H8 6A8 Z2 :UI d 63  P c ti.  ?

2 P2

 p 

)

P- P2 ‰ P

 (

 1A3 # ˆSI

(période de vieillissement)

  - Z2   :U d 

 =Š ‚B Q&I qH? 1  qH? p ‹j. Z2 ti. qH  :U 

)

5?Œ6 56

 .(...

 0

 0I .  j + m! Ei 

 +H

(Weibull)

%#  ‚ 

 :

 

)

(

)

(

1

)

(

,

1

)

(

,

)

/

1

1

²(

)

/

2

1

(

²

,

)

/

1

1

(

0

,

0

0

,

1

)

(

/

2

/

1

t

v

at

e

t

T

P

at

e

t

F

b

abt

t

a

b

b

MTTF

a

b

t

t

at

e

b

abt

t

f

b

b

b

b

b

=

=

>

=

=

+

Γ

+

Γ

=

=

+

Γ

=



>

=

λ

σ

µ

 


background image

 +!c

IV

 .

   

 

  

29

 

  

 

  

 

 

 bHŽ l _W : ) # qZ…I v  a 5Œ c L z" D ; eZ  # I

D   3W  D  'Z"  J!

 ‘W  :D    K0H  #2  +HO  ED  ‘W   ]  +HO  P  c  ‘W  ‚i  

XWU 6ZI H _W  H  l :D +HO 1A3 G )* +!I  6A8 8U(

 .

 

 PD +H 0I P z"  . %  0

b = 1

8 # a i. Y3J  

 5?@ Z2   :U PD 

 g -r ) #

b < 1

 g -r v" #  

b >1

 0O 5 

µ

   Z2 #U…  a t6H2 PUs 

 Z

)

O

 (

 +Z +HO

(Mean Time To First Failure)

 5 

λ(t)

 =  

)

 (

   a Z2 A 2

 P-

v(t) 

 O@ A 

)

 BD eI

 (

 (fonction de la fiabilité)

 + 6   %. 

)

 AX 1 2

Z2D

 (

  ?  )*

t

.

 

 G   mz G^s  a BD 1  :D PUs +H 0I

(mortalité)

 )* G&(? 5c# 62 a 

  mz    b

  A 2  ‡?  P  vw  wz    :83  D  5‹j.j   F  :   3

n

 vw  P 

  0 #@ #3

n

 ∞

.

 

 

 

 "#

4

$

9

 

 .

   *   &' -.

 

      λ(t)

 

 

O@

 

 

+Z 

 

 

 

           

 

                0                                                                                                t

 

                         I                          II                                      III          

 




رفعت المحاضرة من قبل: Cruz Maldanado
المشاهدات: لقد قام عضو واحد فقط و 115 زائراً بقراءة هذه المحاضرة








تسجيل دخول

أو
عبر الحساب الاعتيادي
الرجاء كتابة البريد الالكتروني بشكل صحيح
الرجاء كتابة كلمة المرور
لست عضواً في موقع محاضراتي؟
اضغط هنا للتسجيل