مواضيع المحاضرة: CalcI_Limits
background image

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

CALCULUS   I 

Limits 

 

Paul Dawkins 

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Table of Contents 

 
Preface ............................................................................................................................................ ii

 

Limits .............................................................................................................................................. 2

 

Introduction ................................................................................................................................................ 3

 

Rates of Change and Tangent Lines ........................................................................................................... 4

 

The Limit ..................................................................................................................................................13

 

One-Sided Limits ......................................................................................................................................23

 

Limit Properties.........................................................................................................................................29

 

Computing Limits .....................................................................................................................................35

 

Infinite Limits ...........................................................................................................................................43

 

Limits At Infinity, Part I............................................................................................................................53

 

Limits At Infinity, Part II ..........................................................................................................................62

 

Continuity .................................................................................................................................................72

 

The Definition of the Limit .......................................................................................................................79

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

ii 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Preface 

 
Here are my online notes for my Calculus I course that I teach here at Lamar University.  Despite 
the fact that these are my “class notes”, they should be accessible to anyone wanting to learn 
Calculus I or needing a refresher in some of the early topics in calculus.   
 
I’ve tried to make these notes as self contained as possible and so all the information needed to 
read through them is either from an Algebra or Trig class or contained in other sections of the 
notes. 
 
Here are a couple of warnings to my students who may be here to get a copy of what happened on 
a day that you missed.   
 

1.  Because I wanted to make this a fairly complete set of notes for anyone wanting to learn 

calculus I have included some material that I do not usually have time to cover in class 
and because this changes from semester to semester it is not noted here.  You will need to 
find one of your fellow class mates to see if there is something in these notes that wasn’t 
covered in class. 
 

2.  Because I want these notes to provide some more examples for you to read through, I 

don’t always work the same problems in class as those given in the notes.  Likewise, even 
if I do work some of the problems in here I may work fewer problems in class than are 
presented here. 
 

3.  Sometimes questions in class will lead down paths that are not covered here.  I try to 

anticipate as many of the questions as possible when writing these up, but the reality is 
that I can’t anticipate all the questions.  Sometimes a very good question gets asked in 
class that leads to insights that I’ve not included here.  You should always talk to 
someone who was in class on the day you missed and compare these notes to their notes 
and see what the differences are. 
 

4.  This is somewhat related to the previous three items, but is important enough to merit its 

own item.  THESE NOTES ARE NOT A SUBSTITUTE FOR ATTENDING CLASS!!  
Using these notes as a substitute for class is liable to get you in trouble. As already noted 
not everything in these notes is covered in class and often material or insights not in these 
notes is covered in class. 

 

Limits 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Introduction 

The topic that we will be examining in this chapter is that of Limits.  This is the first of three 
major topics that we will be covering in this course.  While we will be spending the least amount 
of time on limits in comparison to the other two topics limits are very important in the study of 
Calculus.  We will be seeing limits in a variety of places once we move out of this chapter.  In 
particular we will see that limits are part of the formal definition of the other two major topics. 
 
Here is a quick listing of the material that will be covered in this chapter. 
 

Tangent Lines and Rates of Change

 – In this section we will take a look at two problems that 

we will see time and again in this course.  These problems will be used to introduce the topic of 
limits. 
 

The Limit

 – Here we will take a conceptual look at limits and try to get a grasp on just what they 

are and what they can tell us. 
 

One-Sided Limits

 – A brief introduction to one-sided limits. 

 

Limit Properties

 – Properties of limits that we’ll need to use in computing limits.  We will also 

compute some basic limits in this section 
 

Computing Limits

 – Many of the limits we’ll be asked to compute will not be “simple” limits.  

In other words, we won’t be able to just apply the properties and be done.  In this section we will 
look at several types of limits that require some work before we can use the limit properties to 
compute them.   
 

Infinite Limits

 – Here we will take a look at limits that have a value of infinity or negative 

infinity.  We’ll also take a brief look at vertical asymptotes. 
 

Limits At Infinity, Part I

 – In this section we’ll look at limits at infinity.  In other words, limits 

in which the variable gets very large in either the positive or negative sense.  We’ll also take a 
brief look at horizontal asymptotes in this section.  We’ll be concentrating on polynomials and 
rational expression involving polynomials in this section. 
 

Limits At Infinity, Part II

 – We’ll continue to look at limits at infinity in this section, but this 

time we’ll be looking at exponential, logarithms and inverse tangents. 
 

Continuity

 – In this section we will introduce the concept of continuity and how it relates to 

limits.  We will also see the Mean Value Theorem in this section. 
 

The Definition of the Limit

 – We will give the exact definition of several of the limits covered 

in this section.  We’ll also give the exact definition of continuity. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Rates of Change and Tangent Lines 

In this section we are going to take a look at two fairly important problems in the study of 
calculus.  There are two reasons for looking at these problems now.   
 
First, both of these problems will lead us into the study of limits, which is the topic of this chapter 
after all.  Looking at these problems here will allow us to start to understand just what a limit is 
and what it can tell us about a function. 
 
Secondly, the rate of change problem that we’re going to be looking at is one of the most 
important concepts that we’ll encounter in the second chapter of this course.  In fact, it’s probably 
one of the most important concepts that we’ll encounter in the whole course.  So looking at it now 
will get us to start thinking about it from the very beginning. 
 
Tangent Lines 
The first problem that we’re going to take a look at is the tangent line problem.  Before getting 
into this problem it would probably be best to define a tangent line. 
 
A tangent line to the function f(x) at the point 

x

a

=

 is a line that just touches the graph of the 

function at the point in question and is “parallel” (in some way) to the graph at that point.  Take a 
look at the graph below. 

 

 
In this graph the line is a tangent line at the indicated point because it just touches the graph at 
that point and is also “parallel” to the graph at that point.  Likewise, at the second point shown, 
the line does just touch the graph at that point, but it is not “parallel” to the graph at that point and 
so it’s not a tangent line to the graph at that point. 
 
At the second point shown (the point where the line isn’t a tangent line) we will sometimes call 
the line a secant line
 
We’ve used the word parallel a couple of times now and we should probably be a little careful 
with it.  In general, we will think of a line and a graph as being parallel at a point if they are both 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

moving in the same direction at that point.  So, in the first point above the graph and the line are 
moving in the same direction and so we will say they are parallel at that point.  At the second 
point, on the other hand, the line and the graph are not moving in the same direction and so they 
aren’t parallel at that point. 
 
Okay, now that we’ve gotten the definition of a tangent line out of the way let’s move on to the 
tangent line problem.  That’s probably best done with an example.  
 

Example 1  

Find the tangent line to 

( )

2

15 2

f x

x

=

 at 

x

 = 1. 

 
Solution 
We know from algebra that to find the equation of a line we need either two points on the line or 
a single point on the line and the slope of the line.  Since we know that we are after a tangent line 
we do have a point that is on the line.  The tangent line and the graph of the function must touch 

at x = 1 so the point 

( )

(

)

(

)

1,

1

1,13

f

=

 must be on the line. 

 
Now we reach the problem.  This is all that we know about the tangent line.  In order to find the 
tangent line we need either a second point or the slope of the tangent line.  Since the only reason 
for needing a second point is to allow us to find the slope of the tangent line let’s just concentrate 
on seeing if we can determine the slope of the tangent line. 
 
At this point in time all that we’re going to be able to do is to get an estimate for the slope of the 
tangent line, but if we do it correctly we should be able to get an estimate that is in fact the actual 
slope of the tangent line.  We’ll do this by starting with the point that we’re after, let’s call it 

(

)

1,13

P

=

.  We will then pick another point that lies on the graph of the function, let’s call that 

point 

( )

(

)

,

Q

x f x

=

 

For the sake of argument let’s take choose 

2

x

=

and so the second point will be 

( )

2, 7

Q

=

.  

Below is a graph of the function, the tangent line and the secant line that connects P and Q.   
 
We can see from this graph that the secant and tangent lines are somewhat similar and so the 
slope of the secant line should be somewhat close to the actual slope of the tangent line.  So, as an 

estimate of the slope of the tangent line we can use the slope of the secant line, let’s call it 

PQ

m

which is, 
 

 

( )

( )

2

1

7 13

6

2 1

1

PQ

f

f

m

=

=

= −

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Now, if we weren’t too interested in accuracy we could say this is good enough and use this as an 
estimate of the slope of the tangent line.  However, we would like an estimate that is at least 
somewhat close the actual value.  So, to get a better estimate we can take an x that is closer to 

1

x

=

 and redo the work above to get a new estimate on the slope.  We could then take a third 

value of x even closer yet and get an even better estimate. 
 
In other words, as we take Q closer and closer to P the slope of the secant line connecting Q and 
P should be getting closer and closer to the slope of the tangent line.  If you are viewing this on 
the web, the image below shows this process. 
 

 

As you can see (if you’re reading this on the web) as we moved Q in closer and closer to P the 
secant lines does start to look more and more like the tangent line and so the approximate slopes 
(i.e. the slopes of the secant lines) are getting closer and closer to the exact slope.  Also, do not 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

worry about how I got the exact or approximate slopes.  We’ll be computing the approximate 
slopes shortly and we’ll be able to compute the exact slope in a few sections. 
 

In this figure we only looked at 

Q

’s that were to the right of 

P

, but we could have just as easily 

used 

Q

’s that were to the left of 

P

 and we would have received the same results.  In fact, we 

should always take a look at Q’s that are on both sides of P.  In this case the same thing is 
happening on both sides of P.  However, we will eventually see that doesn’t have to happen.  
Therefore we should always take a look at what is happening on both sides of the point in 
question when doing this kind of process. 
 
So, let’s see if we can come up with the approximate slopes I showed above, and hence an 
estimation of the slope of the tangent line.  In order to simplify the process a little let’s get a 

formula for the slope of the line between 

P

 and 

Q

PQ

m

, that will work for any x that we choose 

to work with.  We can get a formula by finding the slope between P and Q using the “general” 

form of 

( )

(

)

,

Q

x f x

=

 

( )

( )

2

2

1

15 2

13

2 2

1

1

1

PQ

f x

f

x

x

m

x

x

x

=

=

=

  

 

Now, let’s pick some values of 

x getting closer and closer to 

1

x

=

, plug in and get some 

slopes. 

PQ

m

 

PQ

m

 

-6 

-2 

1.5 

-5 

0.5 

-3 

1.1 

-4.2 

0.9 

-3.8 

1.01 

-4.02 

0.99 

-3.98 

1.001 

-4.002 

0.999 

-3.998 

1.0001  -4.0002  0.9999  -3.9998 

So, if we take 

x

’s to the right of 1 and move them in very close to 1 it appears that the slope of the 

secant lines appears to be approaching -4.  Likewise, if we take 

x

’s to the left of 1 and move them 

in very close to 1 the slope of the secant lines again appears to be approaching -4. 
 
Based on this evidence it seems that the slopes of the secant lines are approaching -4 as we move 

in towards 

1

x

=

, so we will estimate that the slope of the tangent line is also -4.  As noted above, 

this is the correct value and we will be able to prove this eventually. 
 

Now, the equation of the line that goes through 

( )

(

)

,

a f a

 is given by 

( )

(

)

y

f a

m x a

=

+

    

Therefore, the equation of the tangent line to 

( )

2

15 2

f x

x

=

 at 

x

 = 1 is 

(

)

13 4

1

4

17

y

x

x

=

− = − +

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

There are a couple of important points to note about our work above.  First, we looked at points 

that were on both sides of 

1

x

=

.  In this kind of process it is important to never assume that what 

is happening on one side of a point will also be happening on the other side as well.  We should 
always look at what is happening on both sides of the point.  In this example we could sketch a 
graph and from that guess that what is happening on one side will also be happening on the other, 
but we will usually not have the graphs in front of us or be able to easily get them. 
 
Next, notice that when we say we’re going to move in close to the point in question we do mean 
that we’re going to move in very close and we also used more than just a couple of points.  We 
should never try to determine a trend based on a couple of points that aren’t really all that close to 
the point in question. 
 

The next thing to notice is really a warning more than anything.  The values of 

PQ

m

 in this 

example were fairly “nice” and it was pretty clear what value they were approaching after a 
couple of computations.  In most cases this will not be the case.  Most values will be far 
“messier” and you’ll often need quite a few computations to be able to get an estimate. 
 

Last, we were after something that was happening at 

1

x

=

and we couldn’t actually plug 

1

x

=

 

into our formula for the slope.  Despite this limitation we were able to determine some 

information about what was happening at 

1

x

=

 simply by looking at what was happening around 

1

x

=

.  This is more important than you might at first realize and we will be discussing this point 

in detail in later sections. 
 
Before moving on let’s do a quick review of just what we did in the above example.  We wanted 

the tangent line to 

( )

f x

 at a point 

x

a

=

.  First, we know that the point 

( )

(

)

,

P

a f a

=

 will be 

on the tangent line.  Next, we’ll take a second point that is on the graph of the function, call it 

( )

(

)

,

Q

x f x

=

 and compute the slope of the line connecting P and Q as follows, 

 

 

( )

( )

PQ

f x

f a

m

x

a

=

 

 
We then take values of x that get closer and closer to 

x

a

=

 (making sure to look at x’s on both 

sides of 

x

a

=

 and use this list of values to estimate the slope of the tangent line, m.   

 
The tangent line will then be, 

 

( )

(

)

y

f a

m x a

=

+

−  

 
Rates of Change 
The next problem that we need to look at is the rate of change problem.  This will turn out to be 
one of the most important concepts that we will look at throughout this course. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Here we are going to consider a function, f(x), that represents some quantity that varies as x 
varies.  For instance, maybe f(x) represents the amount of water in a holding tank after x minutes.  
Or maybe f(x) is the distance traveled by a car after x hours.  In both of these example we used x 
to represent time.  Of course x doesn’t have to represent time, but it makes for examples that are 
easy to visualize. 
 
What we want to do here is determine just how fast f(x) is changing at some point, say 

x

a

=

.  

This is called the instantaneous rate of change or sometimes just rate of change of f(x) at 

x

a

=

.   

 
As with the tangent line problem all that we’re going to be able to do at this point is to estimate 
the rate of change.  So let’s continue with the examples above and think of f(x) as something that 
is changing in time and x being the time measurement.  Again x doesn’t have to represent time 
but it will make the explanation a little easier.  While we can’t compute the instantaneous rate of 
change at this point we can find the average rate of change. 
 
To compute the average rate of change of f(x) at 

x

a

=

 all we need to do is to choose another 

point, say x, and then the average rate of change will be, 

 

( )

( )

( )

change in 

. . .

change in 

f x

A R C

x

f x

f a

x

a

=

=

 

 
Then to estimate the instantaneous rate of change at 

x

a

=

all we need to do is to choose values of 

x getting closer and closer to 

x

a

=

 (don’t forget to chose them on both sides of 

x

a

=

) and 

compute values of A.R.C.  We can then estimate the instantaneous rate of change from that. 
 
Let’s take a look at an example. 
 

Example 2  

Suppose that the amount of air in a balloon after t hours is given by  

 

( )

3

2

6

35

V t

t

t

= −

+

 

Estimate the instantaneous rate of change of the volume after 5 hours. 
 
Solution 
Okay.  The first thing that we need to do is get a formula for the average rate of change of the 
volume.  In this case this is, 

 

( )

( )

3

2

3

2

5

6

35 10

6

25

. . .

5

5

5

V t

V

t

t

t

t

A R C

t

t

t

+

+

=

=

=

 

 

To estimate the instantaneous rate of change of the volume at 

5

t

=

 we just need to pick values of 

t that are getting closer and closer to 

5

t

=

.  Here is a table of values of t and the average rate of 

change for those values. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

10 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

A.R.C. 

A.R.C. 

25.0 

7.0 

5.5 

19.75 

4.5 

10.75 

5.1 

15.91 

4.9 

14.11 

5.01 

15.0901 

4.99 

14.9101 

5.001 

15.009001 

4.999 

14.991001 

5.0001  15.00090001  4.9999  14.99910001 

 
So, from this table it looks like the average rate of change is approaching 15 and so we can 
estimate that the instantaneous rate of change is 15 at this point. 

 
So, just what does this tell us about the volume at this point?  Let’s put some units on the answer 
from above.  This might help us to see what is happening to the volume at this point.  Let’s 
suppose that the units on the volume were in cm

3

.  The units on the rate of change (both average 

and instantaneous) are then cm

3

/hr.   

 

We have estimated that at 

5

t

=

 the volume is changing at a rate of 15 cm

3

/hr.  This means that 

at

5

t

=

 the volume is changing in such a way that, if the rate were constant, then an hour later 

there would be 15 cm

3

 more air in the balloon than there was at 

5

t

=

.   

 
We do need to be careful here however.  In reality there probably won’t be 15 cm

3

 more air in the 

balloon after an hour.  The rate at which the volume is changing is generally not constant and so 
we can’t make any real determination as to what the volume will be in another hour.  What we 
can say is that the volume is increasing, since the instantaneous rate of change is positive, and if 
we had rates of change for other values of t we could compare the numbers and see if the rate of 
change is faster or slower at the other points. 
 

For instance, at 

4

t

=

 the instantaneous rate of change is 0 cm

3

/hr and at 

3

t

=

 the instantaneous 

rate of change is -9 cm

3

/hr.  I’ll leave it to you to check these rates of change.  In fact, that would 

be a good exercise to see if you can build a table of values that will support my claims on these 
rates of change. 
 

Anyway, back to the example.  At 

4

t

=

 the rate of change is zero and so at this point in time the 

volume is not changing at all.  That doesn’t mean that it will not change in the future.  It just 

means that exactly at 

4

t

=

 the volume isn’t changing.  Likewise at 

3

t

=

 the volume is 

decreasing since the rate of change at that point is negative.  We can also say that, regardless of 
the increasing/decreasing aspects of the rate of change, the volume of the balloon is changing 

faster at 

5

t

=

 than it is at 

3

t

=

 since 15 is larger than 9. 

 
We will be talking a lot more about rates of change when we get into the next chapter. 
 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

11 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Velocity Problem 
Let’s briefly look at the velocity problem.  Many calculus books will treat this as its own 
problem.  I however, like to think of this as a special case of the rate of change problem.  In the 
velocity problem we are given a position function of an object, f(t), that gives the position of an 
object at time t.  Then to compute the instantaneous velocity of the object we just need to recall 
that the velocity is nothing more than the rate at which the position is changing. 
 
In other words, to estimate the instantaneous velocity we would first compute the average 
velocity, 

 

( )

( )

change in position

. .

time traveled

AV

f t

f a

t

a

=

=

 

 
and then take values of t closer and closer to 

t

a

=

 and use these values to estimate the 

instantaneous velocity. 
 
Change of Notation 
There is one last thing that we need to do in this section before we move on.  The main point of 
this section was to introduce us to a couple of key concepts and ideas that we will see throughout 
the first portion of this course as well as get us started down the path towards limits. 
 
Before we move into limits officially let’s go back and do a little work that will relate both (or all 
three if you include velocity as a separate problem) problems to a more general concept. 
 
First, notice that whether we wanted the tangent line, instantaneous rate of change, or 
instantaneous velocity each of these came down to using exactly the same formula.  Namely, 

 

( )

( )

f x

f a

x

a


 

(1) 

 
This should suggest that all three of these problems are then really the same problem.  In fact this 
is the case as we will see in the next chapter.  We are really working the same problem in each of 
these cases the only difference is the interpretation of the results.   
 
In preparation for the next section where we will discuss this in much more detail we need to do a 
quick change of notation.  It’s easier to do here since we’ve already invested a fair amount of 
time into these problems. 
 
In all of these problems we wanted to determine what was happening at 

x

a

=

.  To do this we 

chose another value of x and plugged into (1).  For what we were doing here that is probably most 
intuitive way of doing it.  However, when we start looking at these problems as a single problem 
(1) will not be the best formula to work with. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

12 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

What we’ll do instead is to first determine how far from 

x

a

=

 we want to move and then define 

our new point based on that decision.  So, if we want to move a distance of h from 

x

a

=

 the new 

point would be 

x

a

h

= +

.   

 
As we saw in our work above it is important to take values of x that are both sides of 

x

a

=

. This 

way of choosing new value of x will do this for us.  If h>0 we will get value of x that are to the 
right of 

x

a

=

 and if h<0 we will get values of x that are to the left of 

x

a

=

 
Now, with this new way of getting a second x, (1) will become, 
 

 

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

f x

f a

f a

h

f a

f a

h

f a

x a

a

h a

h

+

+

=

=

+ −

 

(2) 

 
On the surface it might seem that (2) is going to be an overly complicated way of dealing with 
this stuff.  However, as we will see it will often be easier to deal with (2) than it will be to deal 
with (1). 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

13 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

The Limit 

In the previous 

section

 we looked at a couple of problems and in both problems we had a function 

(slope in the tangent problem case and average rate of change in the rate of change problem) and 
we wanted to know how that function was behaving at some point 

x

a

=

.  At this stage of the 

game we no longer care where the functions came from and we no longer care if we’re going to 
see them down the road again or not.  All that we need to know or worry about is that we’ve got 
these functions and we want to know something about them. 
 
To answer the questions in the last section we choose values of x that got closer and closer to 

x

a

=

 and we plugged these into the function.  We also made sure that we looked at values of x 

that were on both the left and the right of 

x

a

=

.  Once we did this we looked at our table of 

function values and saw what the function values were approaching as x got closer and closer to 

x

a

=

 and used this to guess the value that we were after. 

 
This process is called taking a limit and we have some notation for this.  The limit notation for 
the two problems from the last section is, 
 

 

2

3

2

1

5

2 2

6

25

lim

4

lim

15

1

5

x

t

x

t

t

x

t

+

= −

=

 

 
In this notation we will note that we always give the function that we’re working with and we 
also give the value of x (or t) that we are moving in towards. 
 
In this section we are going to take an intuitive approach to limits and try to get a feel for what 
they are and what they can tell us about a function.  With that goal in mind we are not going to 
get into how we actually compute limits yet.  We will instead rely on what we did in the previous 
section as well as another approach to guess the value of the limits. 
 
Both of the approaches that we are going to use in this section are designed to help us understand 
just what limits are.  In general we don’t typically use the methods in this section to compute 
limits and in many cases can be very difficult to use to even estimate the value of a limit and/or 
will give the wrong value on occasion.  We will look at actually computing limits in a couple of 
sections. 
 
Let’s first start off with the following “definition” of a limit. 
 
Definition 
We say that the limit of f(x) is L as x approaches a and write this as 

 

( )

lim

x

a

f x

L

=  

provided we can make f(x) as close to L as we want for all x sufficiently close to a, from both 
sides, without actually letting x be a

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

14 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

This is not the exact, precise definition of a limit.  If you would like to see the more precise and 
mathematical definition of a limit you should check out the 

The Definition of a Limit

 section at 

the end of this chapter.  The definition given above is more of a “working” definition.  This 
definition helps us to get an idea of just what limits are and what they can tell us about functions. 
 
So just what does this definition mean?  Well let’s suppose that we know that the limit does in 
fact exist.  According to our “working” definition we can then decide how close to L that we’d 
like to make f(x).  For sake of argument let’s suppose that we want to make f(x) no more that 
0.001 away from L.  This means that we want one of the following 
 

 

( )

( )

( )

( )

0.001

if 

 is larger than L

0.001

if 

 is smaller than L

f x

L

f x

L

f x

f x

− <

<

 

 
Now according to the “working” definition this means that if we get x sufficiently close to a we 
can make one of the above true.  However, it actually says a little more.  It actually says that 
somewhere out there in the world is a value of x, say X, so that for all x’s that are closer to a than 
X then one of the above statements will be true.   
 
This is actually a fairly important idea.  There are many functions out there in the world that we 
can make as close to L for specific values of x that are close to a, but there will be other values of 
x closer to a that give functions values that are nowhere near close to L.  In order for a limit to 
exist once we get f(x) as close to L as we want for some x then it will need to stay in that close to 
L (or get closer) for all values of x that are closer to a.  We’ll see an 

example

 of this later in this 

section. 
 
In somewhat simpler terms the definition says that as x gets closer and closer to x=a (from both 
sides of course…) then f(x) must be getting closer and closer to L.  Or, as we move in towards 
x=a then f(x) must be moving in towards L
 
It is important to note once again that we must look at values of x that are on both sides of x=a.  
We should also note that we are not allowed to use x=a in the definition.  We will often use the 
information that limits give us to get some information about what is going on right at x=a, but 
the limit itself is not concerned with what is actually going on at x=a.  The limit is only 
concerned with what is going on around the point x=a.  This is an important concept about limits 
that we need to keep in mind. 
 
An alternative notation that we will occasionally use in denoting limits is 

 

( )

as

f x

L

x

a

 

 
How do we use this definition to help us estimate limits?  We do exactly what we did in the 
previous 

section

.  We take x’s on both sides of x=a that move in closer and closer to a and we 

plug these into our function.  We then look to see if we can determine what number the function 
values are moving in towards and use this as our estimate. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

15 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
Let’s work an example. 
 

Example 1  

Estimate the value of the following limit. 

 

2

2

2

4

12

lim

2

x

x

x

x

x

+

 

Solution 
Notice that I did say estimate the value of the limit.  Again, we are not going to directly compute 
limits in this section.  The point of this section is to give us a better idea of how limits work and 
what they can tell us about the function. 
 
So, with that in mind we are going to work this in pretty much the same way that we did in the 
last section.  We will choose values of x that get closer and closer to x=2 and plug these values 
into the function.  Doing this gives the following table of values. 
 

f(x

f(x

2.5 

3.4 

1.5 

5.0 

2.1 

3.857142857  1.9 

4.157894737 

2.01 

3.985074627  1.99 

4.015075377 

2.001 

3.998500750  1.999 

4.001500750 

2.0001 

3.999850007  1.9999 

4.000150008 

2.00001  3.999985000  1.99999  4.000015000 

 
Note that we made sure and picked values of x that were on both sides of 

2

x

=

 and that 

we moved in very close to 

2

x

=

 to make sure that any trends that we might be seeing are 

in fact correct.   
 
Also notice that we can’t actually plug in 

2

x

=

 into the function as this would give us a 

division by zero error.  This is not a problem since the limit doesn’t care what is 
happening at the point in question. 
 
From this table it appears that the function is going to 4 as x approaches 2, so  

 

2

2

2

4

12

lim

4

2

x

x

x

x

x

+

=

 
Let’s think a little bit more about what’s going on here.  Let’s graph the function from the 
last example.  The graph of the function in the range of x’s that were interested in is 
shown below. 
 
First, notice that there is a rather large open dot at 

2

x

=

.  This is there to remind us that 

the function (and hence the graph) doesn’t exist at 

2

x

=

 
As we were plugging in values of x into the function we are in effect moving along the 
graph in towards the point as 

2

x

=

.  This is shown in the graph by the two arrows on the 

graph that are moving in towards the point. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

16 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

 

 
When we are computing limits the question that we are really asking is what y value is 
our graph approaching as we move in towards  x

a

=  on our graph.  We are NOT asking 

what y value the graph takes at the point in question.  In other words, we are asking what 
the graph is doing around the point  x

a

= .  In our case we can see that as x moves in 

towards 2 (from both sides) the function is approaching 

4

y

=

 even though the function 

itself doesn’t even exist at 

2

x

=

.  Therefore we can say that the limit is in fact 4. 

 

So what have we learned about limits?  Limits are asking what the function is doing around 

x

a

=

 and are not concerned with what the function is actually doing at 

x

a

=

.  This is a good 

thing as many of the functions that we’ll be looking at won’t even exist at 

x

a

=

 as we saw in our 

last example. 
 
Let’s work another example to drive this point home. 
 

Example 2  

Estimate the value of the following limit. 

 

( )

( )

2

2

2

4

12

if 2

lim

where,

2

6

if 2

x

x

x

x

g x

g x

x

x

x

 +

=

=

 

Solution 
The first thing to note here is that this is exactly the same function as the first example with the 

exception that we’ve now given it a value for 

2

x

=

.  So, let’s first note that 

 

( )

2

6

g

=  

 
As far as estimating the value of this limit goes, nothing has changed in comparison to the first 
example.  We could build up a table of values as we did in the first example or we could take a 
quick look at the graph of the function.  Either method will give us the value of the limit. 
 
Let’s first take a look at a table of values and see what that tells us.  Notice that the presence of 

the value for the function at 

2

x

=

 will not change our choices for x.  We only choose values of x 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

17 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

that are getting closer to 

2

x

=

 but we never take 

2

x

=

.  In other words the table of values that 

we used in the first example will be exactly the same table that we’ll use here.  So, since we’ve 
already got it down once there is no reason to redo it here. 
 
From this table it is again clear that the limit is, 

 

( )

2

lim

4

x

g x

=  

 
The limit is NOT 6!  Remember from the discussion after the first example that limits do not care 
what the function is actually doing at the point in question.  Limits are only concerned with what 
is going on around the point.  Since the only thing about the function that we actually changed 

was its behavior at 

2

x

=

 this will not change the limit. 

 
Let’s also take a quick look at this function’s graph to see if this says the same thing. 

 

 

Again, we can see that as we move in towards 

2

x

=

 on our graph the function is still 

approaching a y value of 4.  Remember that we are only asking what the function is doing 

around 

2

x

=

 and we don’t care what the function is actually doing at 

2

x

=

.  The graph then 

also supports the conclusion that the limit is, 

 

( )

2

lim

4

x

g x

=  

 
Let’s make the point one more time just to make sure we’ve got it.  Limits are not concerned with 
what is going on at 

x

a

=

. Limits are only concerned with what is going on around 

x

a

=

.  We 

keep saying this, but it is a very important concept about limits that we must always keep in mind.  
So, we will take every opportunity to remind ourselves of this idea. 
 
Since limits aren’t concerned with what is actually happening at 

x

a

=

 we will, on occasion, see 

situations like the previous example where the limit at a point and the function value at a point are 
different.  This won’t always happen of course.  There are times where the function value and the 
limit at a point are the same and we will eventually see some examples of those.  It is important 
however, to not get excited about things when the function and the limit do not take the same 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

18 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

value at a point.  It happens sometimes and so we will need to be able to deal with those cases 
when they arise. 
 
Let’s take a look another example to try and beat this idea into the ground. 
 

Example 3  

Estimate the value of the following limit. 

 

( )

0

1 cos

lim

θ

θ

θ

 

 
Solution 

First don’t get excited about the 

θ

 in function.  It’s just a letter, just like x is a letter!  It’s a Greek 

letter, but it’s a letter and you will be asked to deal with Greek letters on occasion so it’s a good 
idea to start getting used to them at this point. 
 

Now, also notice that if we plug in 

θ 

=0 that we will get division by zero and so the function 

doesn’t exist at this point.  Actually, we get 0/0 at this point, but because of the division by zero 

this function does not exist at 

θ 

=0.  

 
So, as we did in the first example let’s get a table of values and see what if we can guess what 
value the function is heading in towards. 
  

θ

 

( )

f

θ

 

θ

 

( )

f

θ

 

0.45969769 

-1 

-0.45969769 

0.1 

0.04995835 

-0.1 

-0.04995835 

0.01 

0.00499996 

-0.01 

-0.00499996 

0.001  0.00049999  -0.001  -0.00049999 

 

Okay, it looks like the function is moving in towards a value of zero as 

θ

 moves in towards 0, 

from both sides of course. 
 
Therefore, the we will guess that the limit has the value, 

 

( )

0

1 cos

lim

0

θ

θ

θ

=  

 
So, once again, the limit had a value even though the function didn’t exist at the point we were 
interested in. 
 
It’s now time to work a couple of more examples that will lead us into the next idea about limits 
that we’re going to want to discuss. 
 
 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

19 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Example 4  

Estimate the value of the following limit. 

 

0

lim cos

t

t

π

 

 

 

 

Solution 
Let’s build up a table of values and see what’s going on with our function in this case.  
 

f(t) 

f(t) 

-1 

-1 

-1 

0.1 

-0.1 

0.01 

-0.01 

0.001 

-0.001 

 
Now, if we were to guess the limit from this table we would guess that the limit is 1.  However, if 
we did make this guess we would be wrong.  Consider any of the following function evaluations. 

 

1

2

4

2

1

0

2001

2001

4001

2

f

f

f

= −

=

=

 

In all three of these function evaluations we evaluated the function at a number that is less that 
0.001 and got three totally different numbers.  Recall that the definition of the limit that we’re 
working with requires that the function be approaching a single value (our guess) as t gets closer 
and closer to the point in question.  It doesn’t say that only some of the function values must be 
getting closer to the guess.  It says that all the function values must be getting closer and closer to 
our guess. 
 
To see what’s happening here a graph of the function would be convenient.   

 

From this graph we can see that as we move in towards 

0

t

=

 the function starts oscillating 

wildly and in fact the oscillations increases in speed the closer to

0

t

=

 that we get.  Recall from 

our definition of the limit that in order for a limit to exist the function must be settling down in 
towards a single value as we get closer to the point in question. 
 
This function clearly does not settle in towards a single number and so this limit does not exist

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

20 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

This last example points out the drawback of just picking values of x using a table of function 
values to estimate the value of a limit.  The values of x that we chose in the previous example 
were valid and in fact were probably values that many would have picked.  In fact they were 
exactly the same values we used in the problem before this one and they worked in that problem! 
 
When using a table of values there will always be the possibility that we aren’t choosing the 
correct values and that we will guess incorrectly for our limit.  This is something that we should 
always keep in mind when doing this to guess the value of limits.  In fact, this is such a problem 
that after this section we will never use a table of values to guess the value of a limit again. 
 
This last example also has shown us that limits do not have to exist.  To this point we’ve only 
seen limits that have existed, but that just doesn’t always have to be the case. 
 
Let’s take a look at one more example in this section. 
 

Example 5  

Estimate the value of the following limit. 

 

( )

( )

0

0

if 0

lim

where,

1

if 0

t

t

H t

H t

t

<

= 

 

Solution 
This function is often called either the Heaviside or step function.  We could use a table of values 
to estimate the limit, but it’s probably just as quick in this case to use the graph so let’s do that.  
Below is the graph of this function. 
 

 

We can see from the graph that if we approach 

0

t

=

 from the right side the function is moving in 

towards a y value of 1.  Well actually it’s just staying at 1, but in the terminology that we’ve been 
using in this section it’s moving in towards 1… 
 

Also, if we move in towards 

0

t

=

 from the left the function is moving in towards a y value of 0. 

 
According to our definition of the limit the function needs to move in towards a single value as 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

21 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

we move in towards 

t

a

=

 (from both sides).  This isn’t happening in this case and so in this 

example we will also say that the limit doesn’t exist. 
 
Note that the limit in this example is a little different from the previous example.  In the previous 

example the function did not settle down to a single number as we moved in towards 

0

t

=

.  In 

this example however, the function does settle down to a single number as 

0

t

=

 on either side.  

The problem is that the number is different on each side of 

0

t

=

.  This is an idea that we’ll look 

at in a little more detail in the next section. 

 
Let’s summarize what we (hopefully) learned in this section.  In the first three examples we saw 
that limits do not care what the function is actually doing at the point in question.  They only are 
concerned with what is happening around the point.  In fact, we can have limits at 

x

a

=

 even if 

the function itself does not exist at that point.  Likewise, even if a function exists at a point there 
is no reason (at this point) to think that the limit will have the same value as the function at that 
point.  Sometimes the limit and the function will have the same value at a point and other times 
they won’t have the same value. 
 
Next, in the third and fourth examples we saw the main reason for not using a table of values to 
guess the value of a limit.  In those examples we used exactly the same set of values, however 
they only worked in one of the examples.  Using tables of values to guess the value of limits is 
simply not a good way to get the value of a limit.  This is the only section in which we will do 
this.  Tables of values should always be your last choice in finding values of limits. 
 
The last two examples showed us that not all limits will in fact exist.  We should not get locked 
into the idea that limits will always exist.  In most calculus courses we work with limits that 
almost always exist and so it’s easy to start thinking that limits always exist.  Limits don’t always 
exist and so don’t get into the habit of assuming that they will. 
 
Finally, we saw in the fourth example that the only way to deal with the limit was to graph the 
function.  Sometimes this is the only way, however this example also illustrated the drawback of 
using graphs.  In order to use a graph to guess the value of the limit you need to be able to 
actually sketch the graph.  For many functions this is not that easy to do.   
 
There is another drawback in using graphs.  Even if you actually have the graph it’s only going to 

be useful if the y value is approaching an integer.  If the y value is approaching say 

15

123

 there is 

no way that you’re going to be able to guess that value from the graph and we are usually going 
to want exact values for our limits. 
 
So while graphs of functions can, on occasion, make your life easier in guessing values of limits 
they are again probably not the best way to get values of limits.  They are only going to be useful 
if you can get your hands on it and the value of the limit is a “nice” number. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

22 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

The natural question then is why did we even talk about using tables and/or graphs to estimate 
limits if they aren’t the best way.  There were a couple of reasons.   
 
First, they can help us get a better understanding of what limits are and what they can tell us.  If 
we don’t do at least a couple of limits in this way we might not get all that good of an idea on just 
what limits are. 
 
The second reason for doing limits in this way is to point out their drawback so that we aren’t 
tempted to use them all the time! 
 
We will eventually talk about how we really do limits.  However, there is one more topic that we 
need to discuss before doing that.  Since this section has already gone on for a while we will talk 
about this in the next section. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

23 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

One-Sided Limits 

In the final two examples in the previous 

section

 we saw two limits that did not exist.  However, 

the reason for each of the limits not existing was different for each of the examples. 
 
We saw that  

 

0

lim cos

t

t

π

 

 

 

 

did not exist because the function did not settle down to a single value as t approached 

0

t

=

.  

The closer to 

0

t

=

 we moved the more wildly the function oscillated and in order for a limit to 

exist the function must settle down to a single value. 
 
However we saw that  

 

( )

( )

0

0

if 0

lim

where,

1

if 0

t

t

H t

H t

t

<

= 

 

did not exist not because the function didn’t settle down to a single number as we moved in 

towards 

0

t

=

, but instead because it settled into two different numbers depending on which side 

of 

0

t

=

 we were on. 

 
In this case the function was a very well behaved function, unlike the first function.  The only 

problem was that, as we approached 

0

t

=

, the function was moving in towards different numbers 

on each side.  We would like a way to differentiate between these two examples. 
 
We do this with one-sided limits.  As the name implies, with one-sided limits we will only be 
looking at one side of the point in question.  Here are the definitions for the two one sided limits. 
 
Right-handed limit 
We say 

 

( )

lim

x

a

f x

L

+

=  

provided we can make f(x) as close to L as we want for all x sufficiently close to a and x>a 
without actually letting x be a

 
Left-handed limit 
We say 

 

( )

lim

x

a

f x

L

=  

provided we can make f(x) as close to L as we want for all x sufficiently close to a and x<a 
without actually letting x be a

 
Note that the change in notation is very minor and in fact might be missed if you aren’t paying 
attention.  The only difference is the bit that is under the “lim” part of the limit.  For the right-

handed limit we now have 

x

a

+

(note the “+”) which means that we know will only look at 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

24 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

x>a.  Likewise for the left-handed limit we have 

x

a

(note the “-”) which means that we will 

only be looking at x<a
 
Also, note that as with the “normal” limit (i.e. the limits from the previous section) we still need 
the function to settle down to a single number in order for the limit to exist.  The only difference 
this time is that the function only needs to settle down to a single number on either the right side 
of 

x

a

=

 or the left side of 

x

a

=

 depending on the one-sided limit we’re dealing with. 

 
So when we are looking at limits it’s now important to pay very close attention to see whether we 
are doing a normal limit or one of the one-sided limits.  Let’s now take a look at the some of the 
problems from the last section and look at one-sided limits instead of the normal limit. 
 

Example 1  

Estimate the value of the following limits. 

 

( )

( )

( )

0

0

0

if 0

lim

and

lim

where,

1

if 0

t

t

t

H t

H t

H t

t

+

<

= 

 

 
Solution 
To remind us what this function looks like here’s the graph. 
 

 

 

So, we can see that if we stay to the right of 

0

t

=

 (i.e. 

0

t

>

) then the function is moving in 

towards a value of 1 as we get closer and closer to 

0

t

=

, but staying to the right.  We can 

therefore say that the right-handed limit is, 

 

( )

0

lim

1

t

H t

+

=  

Likewise, if we stay to the left of 

0

t

=

 (i.e 

0

t

<

) the function is moving in towards a value of 0 

as we get closer and closer to 

0

t

=

, but staying to the left.  Therefore the left-handed limit is, 

 

( )

0

lim

0

t

H t

=  

 
In this example we do get one-sided limits even though the normal limit itself doesn’t exist. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

25 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Example 2  

Estimate the value of the following limits. 

 

0

0

lim cos

lim cos

t

t

t

t

π

π

+

 

 

 

 

 

 

 

 
Solution 
From the graph of this function shown below, 
 

 

 

we can see that both of the one-sided limits suffer the same problem that the normal limit did in 
the previous section.  The function does not settle down to a single number on either side of 

0

t

=

.  Therefore, neither the left-handed nor the right-handed limit will exist in this case. 

 
So, one-sided limits don’t have to exist just as normal limits aren’t guaranteed to exist. 
 
Let’s take a look at another example from the previous section. 
 

Example 3  

Estimate the value of the following limits. 

 

( )

( )

( )

2

2

2

2

4

12

if 2

lim

and

lim

where,

2

6

if 2

x

x

x

x

x

g x

g x

g x

x

x

x

+

 +

=

=

 

 
Solution 
So as we’ve done with the previous two examples, let’s remind ourselves of the graph of this 
function.  


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

26 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

 

In this case regardless of which side of 

2

x

=

 we are on the function is always approaching a 

value of 4 and so we get, 

 

( )

( )

2

2

lim

4

lim

4

x

x

g x

g x

+

=

=  

 
Note that one-sided limits do not care about what’s happening at the point any more than normal 
limits do.  They are still only concerned with what is going on around the point.  The only real 
difference between one-sided limits and normal limits is the range of x’s that we look at when 
determining the value of the limit. 
 
Now let’s take a look at the first and last example in this section to get a very nice fact about the 
relationship between one-sided limits and normal limits.  In the last example the one-sided limits 
as well as the normal limit existed and all three had a value of 4.  In the first example the two 
one-sided limits both existed, but did not have the same value and the normal limit did not exist.   
 
The relationship between one-sided limits and normal limits can be summarized by the following 
fact. 
 
Fact 

Given a function f(x) if, 

 

( )

( )

lim

lim

x

a

x

a

f x

f x

L

+

=

=  

then the normal limit will exist and  

 

( )

lim

x

a

f x

L

=  

Likewise, if 

 

( )

lim

x

a

f x

L

=  

then, 

 

( )

( )

lim

lim

x

a

x

a

f x

f x

L

+

=

=  

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

27 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

This fact can be turned around to also say that if the two one-sided limits have different values, 
i.e.

 

( )

( )

lim

lim

x

a

x

a

f x

f x

+

 

then the normal limit will not exist.   
 
This should make some sense.  If the normal limit did exist then by the fact the two one-sided 
limits would have to exist and have the same value by the above fact.  So, if the two one-sided 
limits have different values (or don’t even exist) then the normal limit simply can’t exist. 
 
Let’s take a look at one more example to make sure that we’ve got all the ideas about limits down 
that we’ve looked at in the last couple of sections. 
 

Example 4  

Given the following graph, 

 

compute each of the following. 

   (a) 

( 4)

f

 

 

(b) 

( )

4

lim

x

f x

→−

  

(c) 

( )

4

lim

x

f x

+

→−

   

(d) 

( )

4

lim

x

f x

→−

 

   (e) 

( )

1

f

 

 

(f) 

( )

1

lim

x

f x

   

(g) 

( )

1

lim

x

f x

+

   

(h) 

( )

1

lim

x

f x

 

   (i) 

( )

6

f

 

 

(j) 

( )

6

lim

x

f x

   

(k) 

( )

6

lim

x

f x

+

   

(l) 

( )

6

lim

x

f x

 

 
Solution
 

(a) 

( 4)

f

 doesn’t exist.  There is no closed dot for this value of x and so the function doesn’t 

exist at this point. 
 

(b) 

( )

4

lim

2

x

f x

→−

=

  The function is approaching a value of 2 as x moves in towards -4 from the 

left. 
 

(c) 

( )

4

lim

2

x

f x

+

→−

=

  The function is approaching a value of 2 as x moves in towards -4 from the 

right. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

28 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

(d) 

( )

4

lim

2

x

f x

→−

=

  We can do this one of two ways.  Either we can use the fact here and notice 

that the two one-sided limits are the same and so the normal limit must exist and have the same 
value as the one-sided limits or just get the answer from the graph.   
 
Also recall that a limit can exist at a point even if the function doesn’t exist at that point. 
 

(e) 

( )

1

4

f

=

.  The function will take on the y value where the closed dot is. 

 

(f) 

( )

1

lim

4

x

f x

=

  The function is approaching a value of 4 as x moves in towards 1 from the left. 

 

(g) 

( )

1

lim

2

x

f x

+

= −

  The function is approaching a value of -2 as x moves in towards 1 from the 

right.  Remember that the limit does NOT care about what the function is actually doing at the 
point, it only cares about what the function is doing around the point.  In this case, always staying 

to the right of 

1

x

=

, the function is approaching a value of -2 and so the limit is -2.  The limit is 

not 4, as that is value of the function at the point and again the limit doesn’t care about that! 
 

(h) 

( )

1

lim

x

f x

 doesn’t exist.  The two one-sided limits both exist, however they are different and 

so the normal limit doesn’t exist. 
 

(i) 

( )

6

2

f

=

.  The function will take on the y value where the closed dot is. 

 

(j) 

( )

6

lim

5

x

f x

=

  The function is approaching a value of 5 as x moves in towards 6 from the left. 

 

(k) 

( )

6

lim

5

x

f x

+

=

  The function is approaching a value of 5 as x moves in towards 6 from the 

right. 
 

(l) 

( )

6

lim

5

x

f x

=

  Again, we can use either the graph or the fact to get this.  Also, once more 

remember that the limit doesn’t care what is happening at the point and so it’s possible for the 
limit to have a different value than the function at a point.  When dealing with limits we’ve 
always got to remember that limits simply do not care about what the function is doing at the 
point in question.  Limits are only concerned with what the function is doing around the point. 

 
Hopefully over the last couple of sections you’ve gotten an idea on how limits work and what 
they can tell us about functions.  Some of these ideas will be important in later sections so it’s 
important that you have a good grasp on them. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

29 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Limit Properties 

The time has almost come for us to actually compute some limits.  However, before we do that 
we will need some properties of limits that will make our life somewhat easier.  So, let’s take a 
look at those first.  The proof of some of these properties can be found in the 

Proof of Various 

Limit Properties

 section of the Extras chapter. 

 
Properties 

First we will assume that 

( )

lim

x

a

f x

 and 

( )

lim

x

a

g x

 exist and that c is any constant.  Then, 

1. 

( )

( )

lim

lim

x

a

x

a

cf x

c

f x

=

 

In other words we can “factor” a multiplicative constant out of a limit. 
 

2. 

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

a

x

a

x

a

f x

g x

f x

g x

±

=

±

 

So to take the limit of a sum or difference all we need to do is take the limit of the 
individual parts and then put them back together with the appropriate sign.  This is also 
not limited to two functions.  This fact will work no matter how many functions we’ve 
got separated by “+” or “-”. 
 

3. 

( ) ( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

a

x

a

x

a

f x g x

f x

g x

=

 

We take the limits of products in the same way that we can take the limit of sums or 
differences.  Just take the limit of the pieces and then put them back together.  Also, as 
with sums or differences, this fact is not limited to just two functions. 
 

4. 

( )

( )

( )

( )

( )

lim

lim

,

provided   lim

0

lim

x

a

x

a

x

a

x

a

f x

f x

g x

g x

g x

=

 

As noted in the statement we only need to worry about the limit in the denominator being 
zero when we do the limit of a quotient.  If it were zero we would end up with a division 
by zero error and we need to avoid that. 
 

5. 

( )

( )

lim

lim

,

where   is any real number

n

n

x

a

x

a

f x

f x

n

=

 

In this property n can be any real number (positive, negative, integer, fraction, irrational, 
zero, etc.).  In the case that n is an integer this rule can be thought of as an extended case 
of 3
 
For example consider the case of n = 2. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

30 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2

2

lim

lim

lim

lim

using property 3

lim

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

f x

f x f x

f x

f x

f x

=

=

= 

 

 

 

 

The same can be done for any integer n
 

6. 

( )

( )

lim

lim

n

n

x

a

x

a

f x

f x

 =

 

This is just a special case of the previous example. 

 

( )

( )

( )

( )

1

1

lim

lim

lim

lim

n

n

x

a

x

a

n

x

a

n

x

a

f x

f x

f x

f x

 =

= 

=

 

 

7. 

lim

,

 is any real number

x

a

c

c

c

=

 

In other words, the limit of a constant is just the constant.  You should be able to 

convince yourself of this by drawing the graph of 

( )

f x

c

=

 

8. 

lim

x

a

x

a

=

 

As with the last one you should be able to convince yourself of this by drawing the graph 

of 

( )

f x

x

=

 

9. 

lim

n

n

x

a

x

a

=

 

This is really just a special case of property 5 using 

( )

f x

x

=

 
Note that all these properties also hold for the two one-sided limits as well we just didn’t write 
them down with one sided limits to save on space. 
 
Let’s compute a limit or two using these properties.  The next couple of examples will lead us to 
some truly useful facts about limits that we will use on a continual basis. 
 

Example 1  

Compute the value of the following limit. 

(

)

2

2

lim 3

5

9

x

x

x

→−

+

−  

Solution 
This first time through we will use only the properties above to compute the limit.  
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

31 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

First we will use property 2 to break up the limit into three separate limits.  We will then use 
property 1 to bring the constants out of the first two limits.  Doing this gives us, 

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

lim 3

5

9

lim 3

lim 5

lim 9

3 lim

5 lim

lim 9

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→−

→−

→−

→−

→−

→−

→−

+

=

+

=

+

 

 
We can now use properties 7 through 9 to actually compute the limit. 

(

)

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

lim 3

5

9

3 lim

5 lim

lim 9

3

2

5

2

9

7

x

x

x

x

x

x

x

x

→−

→−

→−

→−

+

=

+

= −

+ − −

= −

 

 
Now, let’s notice that if we had defined 

( )

2

3

5

9

p x

x

x

=

+

−  

then the proceeding example would have been, 

( )

(

)

( )

( )

( )

2

2

2

2

lim

lim 3

5

9

3

2

5

2

9

7

2

x

x

p x

x

x

p

→−

→−

=

+

= −

+ − −

= −
=

 

 
In other words, in this case we see that the limit is the same value that we’d get by just evaluating 
the function at the point in question.  This seems to violate one of the main concepts about limits 
that we’ve seen to this point.  
 
In the previous two sections we made a big deal about the fact that limits do not care about what 
is happening at the point in question.  They only care about what is happening around the point.  
So how does the previous example fit into this since it appears to violate this main idea about 
limits? 
 

Despite appearances the limit still doesn’t care about what the function is doing at 

2

x

= −

.  In 

this case the function that we’ve got is simply “nice enough” so that what is happening around the 
point is exactly the same as what is happening at the point.  

Eventually

 we will formalize up just 

what is meant by “nice enough”.  At this point let’s not worry too much about what “nice 
enough” is.  Let’s just take advantage of the fact that some functions will be “nice enough”, 
whatever that means. 
 
The function in the last example was a polynomial.  It turns out that all polynomials are “nice 
enough” so that what is happening around the point is exactly the same as what is happening at 
the point.  This leads to the following fact. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

32 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Fact 
If p(x) is a polynomial then, 

 

( )

( )

lim

x

a

p x

p a

=

 

 
By the end of this section we will generalize this out considerably to most of the functions that 
we’ll be seeing throughout this course. 
 
Let’s take a look at another example. 
 

Example 2  

Evaluate the following limit. 

2

4

3

1

6 3

10

lim

2

7

1

z

z

z

z

z

+

+

+

 

Solution 
First notice that we can use property 4) to write the limit as, 

2

2

1

4

3

4

3

1

1

lim 6 3

10

6 3

10

lim

2

7

1

lim 2

7

1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+

=

+

+

+

+

 

 
Well, actually we should be a little careful.  We can do that provided the limit of the denominator 
isn’t zero.  As we will see however, it isn’t in this case so we’re okay. 
 
Now, both the numerator and denominator are polynomials so we can use the fact above to 
compute the limits of the numerator and the denominator and hence the limit itself. 

( )

( )

( )

( )

2

2

4

3

4

3

1

6 3 1

10 1

6 3

10

lim

2

7

1

2 1

7 1

1

13

6

z

z

z

z

z

+

+

=

+

+

+

+

=

 

 
Notice that the limit of the denominator wasn’t zero and so our use of property 4 was legitimate. 

 
Notice in this last example that again all we really did was evaluate the function at the point in 
question.  So it appears that there is a fairly large class of functions for which this can be done.  
Let’s generalize the fact from above a little. 
 
Fact 
Provided f(x) is “nice enough” we have, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

a

x

a

x

a

f x

f a

f x

f a

f x

f a

+

=

=

=

 

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

33 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Again, we will formalize up just what we mean by “nice enough” 

eventually

.  At this point all we 

want to do is worry about which functions are “nice enough”.  Some functions are “nice enough” 
for all x while others will only be “nice enough” for certain values of x.  It will all depend on the 
function. 
 
As noted in the statement, this fact also holds for the two one-sided limits as well as the normal 
limit. 
 
Here is a list of some of the more common functions that are “nice enough”. 
 

•  Polynomials are nice enough for all x’s. 

•  If 

( )

( )

( )

p x

f x

q x

=

 then f(x) will be nice enough provided both p(x) and q(x) are nice 

enough and if we don’t get division by zero at the point we’re evaluating at.  

• 

( )

( )

cos

, sin

x

x

 are nice enough for all x’s 

• 

( )

( )

sec

, tan

x

x

 are nice enough provided 

5

3

3

5

,

,

,

,

,

,

2

2

2

2

2

x

π

π π π π

  In other 

words secant and tangent are nice enough everywhere cosine isn’t zero.  To see why 
recall that these are both really rational functions and that cosine is in the denominator of 
both then go back up and look at the second bullet above. 

• 

( )

( )

csc

, cot

x

x

 are nice enough  provided 

, 2 ,

, 0,

, 2 ,

x

π

π

π π

  In other 

words cosecant and cotangent are nice enough everywhere sine isn’t zero. 

• 

n

x

 is nice enough for all x if n is odd. 

• 

n

x

 is nice enough for 

0

x

  if n is even.  Here we require 

0

x

 to avoid having to 

deal with complex values. 

• 

,

x

x

a

e

 are nice enough for all x’s. 

• 

log

, ln

b

x

x

 are nice enough for x>0.  Remember we can only plug positive numbers 

into logarithms and not zero or negative numbers. 

•  Any sum, difference or product of the above functions will also be nice enough.  

Quotients will be nice enough provided we don’t get division by zero upon evaluating the 
limit. 

 
The last bullet is important.  This means that for any combination of these functions all we need 
to do is evaluate the function at the point in question, making sure that none of the restrictions are 
violated.  This means that we can now do a large number of limits. 
 

Example 3  

Evaluate the following limit. 

( )

( ) ( )

5

3

lim

sin

cos

1 ln

x

x

x

x

x

x

+

+

+

e

 

Solution 
This is a combination of several of the functions listed above and none of the restrictions are 

violated so all we need to do is plug in 

3

x

=

 into the function to get the limit. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

34 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

3

5

5

3

lim

sin

cos

3

sin 3 cos 3

1 ln

1 ln 3

8.185427271

x

x

x

x

x

x

+

+

= −

+

+

+

+

=

e

e

 

 
Not a very pretty answer, but we can now do the limit. 

 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

35 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Computing Limits 

In the previous 

section

 we saw that there is a large class of function that allows us to use 

 

( )

( )

lim

x

a

f x

f a

=

 

to compute limits.  However, there are also many limits for which this won’t work easily.  The 
purpose of this section is to develop techniques for dealing with some of these limits that will not 
allow us to just use this fact. 
 
Let’s first got back and take a look at one of the first limits that we looked at and compute its 
exact value and verify our guess for the limit. 
 

Example 1  

Evaluate the following limit. 

 

2

2

2

4

12

lim

2

x

x

x

x

x

+

 

Solution 

First let’s notice that if we try to plug in 

2

x

=

 we get, 

 

2

2

2

4

12

0

lim

2

0

x

x

x

x

x

+

=

 

 

So, we can’t just plug in 

2

x

=

 to evaluate the limit.  So, we’re going to have to do something 

else.   
 
The first thing that we should always do when evaluating limits is to simplify the function as 
much as possible.  In this case that means factoring both the numerator and denominator.  Doing 
this gives, 

 

(

)(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

6

4

12

lim

lim

2

2

6

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

+

+

=

+

=

 

 

So, upon factoring we saw that we could cancel an 

2

x

 from both the numerator and the 

denominator.  Upon doing this we now have a new rational expression that we can plug 

2

x

=

 

into because we lost the division by zero problem.  Therefore, the limit is, 

 

2

2

2

2

4

12

6

8

lim

lim

4

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

=

= =

 

 
Note that this is in fact what we guessed the limit to be. 

 
On a side note, the 0/0 we initially got in the previous example is called an indeterminate form.  
This means that we don’t really know what it will be until we do some more work.  Typically 
zero in the denominator means it’s undefined.  However that will only be true if the numerator 
isn’t also zero.  Also, zero in the numerator usually means that the fraction is zero, unless the 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

36 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

denominator is also zero.  Likewise anything divided by itself is 1, unless we’re talking about 
zero. 
 
So, there are really three competing “rules” here and it’s not clear which one will win out.  It’s 
also possible that none of them will win out and we will get something totally different from 
undefined, zero, or one.  We might, for instance, get a value of 4 out of this, to pick a number 
completely at random. 
 
There are many more kinds of indeterminate forms and we will be discussing indeterminate forms 
at length in the next chapter. 
 
Let’s take a look at a couple of more examples. 
 

Example 2  

Evaluate the following limit. 

 

(

)

2

0

2

3

18

lim

h

h

h

− +

 

Solution 
In this case we also get 0/0 and factoring is not really an option.  However, there is still some 
simplification that we can do. 

 

(

)

(

)

2

2

0

0

2

0

2

0

2 9 6

18

2

3

18

lim

lim

18 12

2

18

lim

12

2

lim

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

+

− +

=

+

=

+

=

 

 
So, upon multiplying out the first term we get a little cancellation and now notice that we can 
factor an h out of both terms in the numerator which will cancel against the h in the denominator 
and the division by zero problem goes away and we can then evaluate the limit. 

 

(

)

(

)

2

2

0

0

0

0

2

3

18

12

2

lim

lim

12 2

lim

lim

12 2

12

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

− +

+

=

− +

=

=

− +

= −

 

 

Example 3  

Evaluate the following limit. 

 

4

3

4

lim

4

t

t

t

t

+

 

Solution 
This limit is going to be a little more work than the previous two.  Once again however note that 
we get the indeterminate form 0/0 if we try to just evaluate the limit.  Also note that neither of the 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

37 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

two examples will be of any help here, at least initially.  We can’t factor and we can’t just 
multiply something out to get the function to simplify. 
 
When there is a square root in the numerator or denominator we can try to rationalize and see if 
that helps.  Recall that rationalizing makes use of the fact that 

 

(

)(

)

2

2

a b

a b

a

b

+

=

−  

So, if either the first and/or the second term have a square root in them the rationalizing will 
eliminate the root(s).  This might help in evaluating the limit. 
 
Let’s try rationalizing the numerator in this case.   

 

(

)

(

)

(

)

(

)

4

4

3

4

3

4

3

4

lim

lim

4

4

3

4

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

+

+

+

+

=

+

+

 

Remember that to rationalize we just take the numerator (since that’s what we’re rationalizing), 
change the sign on the second term and multiply the numerator and denominator by this new 
term. 
 
Next, we multiply the numerator out being careful to watch minus signs. 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

4

4

2

4

3

4

3

4

lim

lim

4

4

3

4

3

4

lim

4

3

4

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

+

+

=

+

+

− −

=

+

+

 

 
Notice that we didn’t multiply the denominator out as well.  Most students come out of an 
Algebra class having it beaten into their heads to always multiply this stuff out.  However, in this 
case multiplying out will make the problem very difficult and in the end you’ll just end up 
factoring it back out anyway. 
 
At this stage we are almost done.  Notice that we can factor the numerator so let’s do that. 

 

(

)(

)

(

)

(

)

4

4

4

1

3

4

lim

lim

4

4

3

4

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

+

+

=

+

+

 

 
Now all we need to do is notice that if we factor a “-1”out of the first term in the denominator we 
can do some canceling.  At that point the division by zero problem will go away and we can 
evaluate the limit. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

38 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

1

3

4

lim

lim

4

4

3

4

1

lim

3

4

5

8

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

+

+

=

− −

+

+

+

=

− +

+

= −

 

 
Note that if we had multiplied the denominator out we would not have been able to do this 
canceling and in all likelihood would not have even seen that some canceling could have been 
done. 

 
So, we’ve taken a look at a couple of limits in which evaluation gave the indeterminate form 0/0 
and we now have a couple of things to try in these cases. 
 
Let’s take a look at another kind of problem that can arise in computing some limits involving 
piecewise functions. 
 

Example 4  

Given the function, 

 

( )

2

5 if 2

1 3

if 2

y

y

g y

y

y

 +

< −

= 

≥ −

 

Compute the following limits. 

(a) 

( )

6

lim

y

g y

   

[

Solution

]

 

(b) 

( )

2

lim

y

g y

→−

   

[

Solution

]

 

Solution 

(a)  

( )

6

lim

y

g y

 

In this case there really isn’t a whole lot to do.  In doing limits recall that we must always look at 
what’s happening on both sides of the point in question as we move in towards it.  In this case 

6

y

=

 is completely inside the second interval for the function and so there are values of y on 

both sides of 

6

y

=

 that are also inside this interval.  This means that we can just use the fact to 

evaluate this limit. 

 

( )

6

6

lim

lim1 3

17

y

y

g y

y

=

= −

 

[

Return to Problems

 

(b)  

( )

2

lim

y

g y

→−

 

This part is the real point to this problem.  In this case the point that we want to take the limit for 

is the cutoff point for the two intervals.  In other words we can’t just plug 

2

y

= −

 into the second 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

39 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

portion because this interval does not contain values of y to the left of 

2

y

= −

 and we need to 

know what is happening on both sides of the point. 
 
To do this part we are going to have to remember the fact from the section on 

one-sided limits

 

that says that if the two one-sided limits exist and are the same then the normal limit will also 
exist and have the same value. 
 
Notice that both of the one sided limits can be done here since we are only going to be looking at 
one side of the point in question.  So let’s do the two one-sided limits and see what we get. 

 

( )

2

2

2

lim

lim

5

since 

2  implies 

2

9

y

y

g y

y

y

y

→−

→−

=

+

< −

=

 

 

 

( )

2

2

lim

lim 1 3

since 

2  implies 

2

7

y

y

g y

y

y

y

+

+

+

→−

→−

=

> −

=

 

 
So, in this case we can see that, 

 

( )

( )

2

2

lim

9

7

lim

y

y

g y

g y

+

→−

→−

= ≠ =

 

and so since the two one sided limits aren’t the same  

 

( )

2

lim

y

g y

→−

 

doesn’t exist. 

[

Return to Problems

]

 

 

Note that a very simple change to the function will make the limit at 

2

y

= −

 exist so don’t get in 

into your head that limits at these cutoff points in piecewise function don’t ever exist. 
 

Example 5  

Evaluate the following limit. 

 

( )

( )

2

2

5 if 2

lim

where,

3 3

if 2

y

y

y

g y

g y

y

y

→−

 +

< −

= 

≥ −

 

Solution 
The two one-sided limits this time are, 

 

( )

2

2

2

lim

lim

5

since 

2  implies 

2

9

y

y

g y

y

y

y

→−

→−

=

+

< −

=

 

 

 

( )

2

2

lim

lim 3 3

since 

2  implies 

2

9

y

y

g y

y

y

y

+

+

→−

→−

=

> −

=

 

 
The one-sided limits are the same so we get, 

 

( )

2

lim

9

y

g y

→−

=  


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

40 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
There is one more limit that we need to do.  However, we will need a new fact about limits that 
will help us to do this. 
 
Fact 

If 

( )

( )

f x

g x

 for all x on [a, b] (except possibly at 

x

c

=

) and 

a

c

b

≤ ≤

 then, 

 

( )

( )

lim

lim

x

c

x

c

f x

g x

 

 
Note that this fact should make some sense to you if we assume that both functions are nice 
enough.  If both of the functions are “nice enough” to use the limit evaluation 

fact

 then we have, 

 

( )

( )

( )

( )

lim

lim

x

c

x

c

f x

f c

g c

g x

=

=

 

The inequality is true because we know that c is somewhere between a and b and in that range we 

also know 

( )

( )

f x

g x

.   

 
Note that we don’t really need the two functions to be nice enough for the fact to be true, but it 
does provide a nice way to give a quick “justification” for the fact. 
 

Also, note that we said that we assumed that 

( )

( )

f x

g x

 for all x on [a, b] (except possibly at 

x

c

=

).  Because limits do not care what is actually happening at 

x

c

=

 we don’t really need the 

inequality to hold at that specific point.  We only need it to hold around 

x

c

=

 since that is what 

the limit is concerned about. 
 
We can take this fact one step farther to get the following theorem. 
 
Squeeze Theorem 

Suppose that for all x on [a, b] (except possibly at 

x

c

=

) we have, 

 

( ) ( )

( )

f x

h x

g x

 

Also suppose that, 

 

( )

( )

lim

lim

x

c

x

c

f x

g x

L

=

=  

for some 

a

c

b

≤ ≤

.  Then, 

 

( )

lim

x

c

h x

L

=  

 

As with the previous fact we only need to know that 

( ) ( )

( )

f x

h x

g x

 is true around 

x

c

=

 

because we are working with limits and they are only concerned with what is going on around 

x

c

=

 and not what is actually happening at 

x

c

=

 
Now, if we again assume that all three functions are nice enough (again this isn’t required to 
make the Squeeze Theorem true, it only helps with the visualization) then we can get a quick 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

41 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

sketch of what the Squeeze Theorem is telling us.  The following figure illustrates what is 
happening in this theorem. 

 

 

From the figure we can see that if the limits of f(x) and g(x) are equal at 

x

c

=

 then the function 

values must also be equal at 

x

c

=

 (this is where we’re using the fact that we assumed the 

functions where “nice enough”, which isn’t really required for the Theorem).  However, because 
h(x) is “squeezed” between f(x) and g(x) at this point then h(x) must have the same value.  
Therefore, the limit of h(x) at this point must also be the same. 
 
The Squeeze theorem is also known as the Sandwich Theorem and the Pinching Theorem
 
So, how do we use this theorem to help us with limits?  Let’s take a look at the following 
example to see the theorem in action. 
 

Example 6  

Evaluate the following limit. 

 

2

0

1

lim

cos

x

x

x

 

 

 

 

Solution 
In this example none of the previous examples can help us.  There’s no factoring or simplifying to 
do.  We can’t rationalize and one-sided limits won’t work.  There’s even a question as to whether 
this limit will exist since we have division by zero inside the cosine at x=0
 
The first thing to notice is that we know the following fact about cosine. 

 

( )

1 cos

1

x

− ≤

≤  

Our function doesn’t have just an x in the cosine, but as long as we avoid 

0

x

=

 we can say the 

same thing for our cosine. 

 

1

1 cos

1

x

 

− ≤

 

 

 

It’s okay for us to ignore 

0

x

=

 here because we are taking a limit and we know that limits don’t 

care about what’s actually going on at the point in question, 

0

x

=

 in this case. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

42 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Now if we have the above inequality for our cosine we can just multiply everything by an x

2

 and 

get the following. 

 

2

2

2

1

cos

x

x

x

x

 

− ≤

 

 

 

 
In other words we’ve managed to squeeze the function that we were interested in between two 
other functions that are very easy to deal with.  So, the limits of the two outer functions are. 

 

( )

2

2

0

0

lim

0

lim

0

x

x

x

x

=

=  

 
These are the same and so by the Squeeze theorem we must also have, 

 

2

0

1

lim

cos

0

x

x

x

  =

 

 

 

 
We can verify this with the graph of the three functions.  This is shown below. 

 

 
In this section we’ve seen several tools that we can use to help us to compute limits in which we 
can’t just evaluate the function at the point in question.  As we will see many of the limits that 
we’ll be doing in later sections will require one or more of these tools. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

43 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Infinite Limits 

In this section we will take a look at limits whose value is infinity or minus infinity.  These kinds 
of limit will show up fairly regularly in later sections and in other courses and so you’ll need to 
be able to deal with them when you run across them. 
 
The first thing we should probably do here is to define just what we mean when we say that a 
limit has a value of infinity or minus infinity. 
 
Definition 
We say 

 

( )

lim

x

a

f x

= ∞  

if we can make f(x) arbitrarily large for all x sufficiently close to x=a, from both sides, without 
actually letting 

x

a

=

.  

 
We say 

 

( )

lim

x

a

f x

= −∞  

if we can make f(x) arbitrarily large and negative for all x sufficiently close to x=a, from both 
sides, without actually letting 

x

a

=

.  

 
These definitions can be appropriately modified for the one-sided limits as well.  To see a more 
precise and mathematical definition of this kind of limit see the 

The Definition of the Limit

 

section at the end of this chapter.  
 
Let’s start off with a fairly typical example illustrating infinite limits. 
 

Example 1  

Evaluate each of the following limits. 

 

0

0

0

1

1

1

lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

+

 

Solution 
So we’re going to be taking a look at a couple of one-sided limits as well as the normal limit here.  

In all three cases notice that we can’t just plug in 

0

x

=

.  If we did we would get division by 

zero.  Also recall that the definitions above can be easily modified to give similar definitions for 
the two one-sided limits which we’ll be needing here. 
 
Now, there are several ways we could proceed here to get values for these limits.  One way is to 
plug in some points and see what value the function is approaching.  In the preceding section we 
said that we were no longer going to do this, but in this case it is a good way to illustrate just 
what’s going on with this function. 
 
So, here is a table of values of x’s from both the left and the right.  Using these values we’ll be 
able to estimate the value of the two one-sided limits and once we have that done we can use the 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

44 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

fact

 that the normal limit will exist only if the two one-sided limits exist and have the same value. 

 

1

x

 

1

x

 

-0.1 

-10 

0.1 

10 

-0.01 

-100 

0.01 

100 

-0.001 

-1000 

0.001 

1000 

-0.0001  -10000  0.0001  10000 

 

From this table we can see that as we make x smaller and smaller the function 

1

x

 gets larger and 

larger and will retain the same sign that x originally had.  It should make sense that this trend will 
continue for any smaller value of x that we chose to use.  The function is a constant (one in this 
case) divided by an increasingly small number.  The resulting fraction should be an increasingly 
large number and as noted above the fraction will retain the same sign as x
 
We can make the function as large and positive as we want for all x’s sufficiently close to zero 
while staying positive (i.e. on the right).  Likewise, we can make the function as large and 
negative as we want for all x’s sufficiently close to zero while staying negative (i.e. on the left).  
So, from our definition above it looks like we should have the following values for the two one 
sided limits. 

 

0

0

1

1

lim

lim

x

x

x

x

+

= ∞

= −∞

 

 
Another way to see the values of the two one sided limits here is to graph the function.  Again, in 
the previous section we mentioned that we won’t do this too often as most functions are not 
something we can just quickly sketch out as well as the problems with accuracy in reading values 
off the graph.  In this case however, it’s not too hard to sketch a graph of the function and, in this 
case as we’ll see accuracy is not really going to be an issue.  So, here is a quick sketch of the 
graph. 

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

45 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

So, we can see from this graph that the function does behave much as we predicted that it would 
from our table values.  The closer x gets to zero from the right the larger (in the positive sense) 
the function gets, while the closer x gets to zero from the left the larger (in the negative sense) the 
function gets. 
 
Finally, the normal limit, in this case, will not exist since the two one-sided limits have different 
values. 
 
So, in summary here are the values of the three limits for this example. 

 

0

0

0

1

1

1

lim

lim

lim

  doesn't exist

x

x

x

x

x

x

+

= ∞

= −∞

 

 
For most of the remaining examples in this section we’ll attempt to “talk our way through” each 
limit.  This means that we’ll see if we can analyze what should happen to the function as we get 
very close to the point in question without actually plugging in any values into the function.  For 
most of the following examples this kind of analysis shouldn’t be all that difficult to do.  We’ll 
also verify our analysis with a quick graph. 
 
So, let’s do a couple more examples. 
 

Example 2  

Evaluate each of the following limits. 

 

2

2

2

0

0

0

6

6

6

lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

+

 

Solution 
As with the previous example let’s start off by looking at the two one-sided limits.  Once we have 
those we’ll be able to determine a value for the normal limit.  
 
So, let’s take a look at the right-hand limit first and as noted above let’s see if we can figure out 
what each limit will be doing without actually plugging in any values of x into the function.  As 
we take smaller and smaller values of x, while staying positive, squaring them will only make 
them smaller (recall squaring a number between zero and one will make it smaller) and of course 
it will stay positive.  So we have a positive constant divided by an increasingly small positive 
number.  The result should then be an increasingly large positive number.  It looks like we should 
have the following value for the right-hand limit in this case, 

 

2

0

6

lim

x

x

+

= ∞

 

 
Now, let’s take a look at the left hand limit.  In this case we’re going to take smaller and smaller 
values of x, while staying negative this time.  When we square them they’ll get smaller, but upon 
squaring the result is now positive.  So, we have a positive constant divided by an increasingly 
small positive number.  The result, as with the right hand limit, will be an increasingly large 
positive number and so the left-hand limit will be, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

46 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

2

0

6

lim

x

x

= ∞

 

Now, in this example, unlike the first one, the normal limit will exist and be infinity since the two 
one-sided limits both exist and have the same value.  So, in summary here are all the limits for 
this example as well as a quick graph verifying the limits. 
 

 

2

2

2

0

0

0

6

6

6

lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

+

= ∞

= ∞

= ∞

 

 

 

 
With this next example we’ll move away from just an x in the denominator, but as we’ll see in the 
next couple of examples they work pretty much the same way. 
 

Example 3  

Evaluate each of the following limits. 

 

2

2

2

4

4

4

lim

lim

lim

2

2

2

x

x

x

x

x

x

+

→−

→−

→−

+

+

+

 

Solution 
Let’s again start with the right-hand limit.  With the right hand limit we know that we have, 

 

2

2

0

x

x

> −

+ >

 

 

Also, as x gets closer and closer to -2 then 

2

x

+

will be getting closer and closer to zero, while 

staying positive as noted above.  So, for the right-hand limit, we’ll have a negative constant 
divided by an increasingly small positive number.  The result will be an increasingly large and 
negative number.  So, it looks like the right-hand limit will be negative infinity. 
 
For the left hand limit we have, 

 

2

2

0

x

x

< −

+ <

 

and 

2

x

+

 will get closer and closer to zero (and be negative) as x gets closer and closer to -2.  In 

this case then we’ll have a negative constant divided by an increasingly small negative number.  
The result will then be an increasingly large positive number and so it looks like the left-hand 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

47 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

limit will be positive infinity. 
 
Finally, since two one sided limits are not the same the normal limit won’t exist. 
 
Here are the official answers for this example as well as a quick graph of the function for 
verification purposes. 
 

 

2

2

2

4

4

4

lim

lim

lim

doesn't exist

2

2

2

x

x

x

x

x

x

+

→−

→−

→−

= −∞

= ∞

+

+

+

 

 

 

 
At this point we should briefly acknowledge the idea of vertical asymptotes.  Each of the three 
previous graphs have had one.  Recall from an Algebra class that a vertical asymptote is a vertical 

line (the dashed line at 

2

x

= −

 in the previous example) in which the graph will go towards 

infinity and/or minus infinity on one or both sides of the line.   
 
In an Algebra class they are a little difficult to define other than to say pretty much what we just 
said.  Now that we have infinite limits under our belt we can easily define a vertical asymptote as 
follows, 
 
Definition 

The function f(x) will have a vertical asymptote at 

x

a

=

 if we have any of the following limits at 

x

a

=

 

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

a

x

a

x

a

f x

f x

f x

+

= ± ∞

= ± ∞

= ± ∞  

 
Note that it only requires one of the above limits for a function to have a vertical asymptote at 

x

a

=

 

Using this definition we can see that the first two examples had vertical asymptotes at 

0

x

=

 

while the third example had a vertical asymptote at 

2

x

= −


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

48 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
We aren’t really going to do a lot with vertical asymptotes here, but wanted to mention them at 
this point since we’d reached a good point to do that. 
 
Let’s now take a look at a couple more examples of infinite limits that can cause some problems 
on occasion.  
 

Example 4  

Evaluate each of the following limits. 

 

(

)

(

)

(

)

3

3

3

4

4

4

3

3

3

lim

lim

lim

4

4

4

x

x

x

x

x

x

+

 

 
Solution 
Let’s start with the right-hand limit.  For this limit we have, 

 

(

)

3

4

4

0

4

0

x

x

x

>

− <

<

 

also, 

4

0

x

− →

 as 

4

x

.  So, we have a positive constant divided by an increasingly small 

negative number.  The results will be an increasingly large negative number and so it looks like 
the right-hand limit will be negative infinity. 
 
For the left-handed limit we have, 

 

(

)

3

4

4

0

4

0

x

x

x

<

− >

>

 

and we still have, 

4

0

x

− →

 as 

4

x

.  In this case we have a positive constant divided by an 

increasingly small positive number.  The results will be an increasingly large positive number and 
so it looks like the left-hand limit will be positive infinity. 
 
The normal limit will not exist since the two one-sided limits are not the same.  The official 
answers to this example are then, 

 

(

)

(

)

(

)

3

3

3

4

4

4

3

3

3

lim

lim

lim

doesn't exist

4

4

4

x

x

x

x

x

x

+

= −∞

= ∞

 

 
Here is a quick sketch to verify our limits. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

49 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

All the examples to this point have had a constant in the numerator and we should probably take a 
quick look at an example that doesn’t have a constant in the numerator. 
 

Example 5  

Evaluate each of the following limits. 

 

3

3

3

2

2

2

lim

lim

lim

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

 

Solution 
Let’s take a look at the right-handed limit first.  For this limit we’ll have, 

 

3

3

0

x

x

>

− >

 

 
The main difference here with this example is the behavior of the numerator as we let x get closer 
and closer to 3.  In this case we have the following behavior for both the numerator and 
denominator. 

 

3

0 and   2

6 as   

3

x

x

x

− →

 

 
So, as we let x get closer and closer to 3 (always staying on the right of course) the numerator, 
while not a constant, is getting closer and closer to a positive constant while the denominator is 
getting closer and closer to zero, and will be positive since we are on the right side.   
 
This means that we’ll have a numerator that is getting closer and closer to a non-zero and positive 
constant divided by an increasingly smaller positive number and so the result should be an 
increasingly larger positive number.  The right-hand limit should then be positive infinity. 
 
For the left-hand limit we’ll have, 

 

3

3

0

x

x

<

− <

 

 
As with the right-hand limit we’ll have the following behaviors for the numerator and the 
denominator, 

3

0 and   2

6 as   

3

x

x

x

− →

 

 
The main difference in this case is that the denominator will now be negative.  So, we’ll have a 
numerator that is approaching a positive, non-zero constant divided by an increasingly small 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

50 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

negative number.  The result will be an increasingly large and negative number. 
 
The formal answers for this example are then, 

 

3

3

3

2

2

2

lim

lim

lim

  doesn't exist

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

= ∞

= −∞

 

 
As with most of the examples in this section the normal limit does not exist since the two one-
sided limits are not the same. 
 
Here’s a quick graph to verify our limits. 

 

 
So far all we’ve done is look at limits of rational expressions, let’s do a couple of quick examples 
with some different functions. 
 

Example 6  

Evaluate 

( )

0

lim ln

x

x

+

 

Solution 
First, notice that we can only evaluate the right-handed limit here.  We know that the domain of 
any logarithm is only the positive numbers and so we can’t even talk about the left-handed limit 
because that would necessitate the use of negative numbers.  Likewise, since we can’t deal with 
the left-handed limit then we can’t talk about the normal limit. 
 
This limit is pretty simple to get from a quick sketch of the graph. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

51 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

From this we can see that, 

( )

0

lim ln

x

x

+

= −∞

 

 
 
 
 
 

Example 7  

Evaluate both of the following limits. 

 

( )

( )

2

2

lim tan

lim tan

x

x

x

x

π

π

+

 

Solution 
Here’s a quick sketch of the graph of the tangent function. 

 

 
From this it’s easy to see that we have the following values for each of these limits, 

 

( )

( )

2

2

lim tan

lim tan

x

x

x

x

π

π

+

= −∞

= ∞

 

Note that the normal limit will not exist because the two one-sided limits are not the same. 

 
We’ll leave this section with a few facts about infinite limits. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

52 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
Facts 

Given the functions 

( )

f x  and 

( )

g x  suppose we have, 

 

( )

( )

lim

lim

x

c

x

c

f x

g x

L

= ∞

=

 

for some real numbers c and L.  Then, 
 

1. 

( )

( )

lim

x

c

f x

g x

±

= ∞

  

 

2. If 

0

L

>

 then 

( ) ( )

lim

x

c

f x g x

= ∞

  

 

3. If 

0

L

<

 then 

( ) ( )

lim

x

c

f x g x

= −∞

  

 

4. 

( )

( )

lim

0

x

c

g x

f x

=

  

 

 
To see the proof of this set of facts see the 

Proof of Various Limit Properties

 section in the Extras 

chapter. 
 
Note as well that the above set of facts also holds for one-sided limits.  They will also hold if 

( )

lim

x

c

f x

= −∞

, with a change of sign on the infinities in the first three parts.  The proofs of 

these changes to the facts are nearly identical to the proof of the original facts and so are left to 
the reader. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

53 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Limits At Infinity, Part I 

In the previous section we saw limits that were infinity and it’s now time to take a look at limits 
at infinity.  By limits at infinity we mean one of the following two limits. 

 

( )

( )

lim

lim

x

x

f x

f x

→∞

→−∞

 

 
In other words, we are going to be looking at what happens to a function if we let x get very large 
in either the positive or negative sense.  Also, as we’ll soon see, these limits may also have 
infinity as a value. 
 
First, let’s note that the set of 

Facts

 from the Infinite Limit section also hold if the replace the 

lim

x

c

with 

lim

x

→∞

 or 

lim

x

→−∞

.  The proof of this is nearly identical to the 

proof

 of the original set of 

facts with only minor modifications to handle the change in the limit and so is left to the reader.  
We won’t need these facts much over the next couple of sections but they will be required on 
occasion. 
 
In fact, many of the limits that we’re going to be looking at we will need the following two facts. 
 
Fact 1 

1. If r is a positive rational number and c is any real number then, 

 

lim

0

r

x

c

x

→∞

=

 

 

2. If r is a positive rational number, c is any real number and x

r

  is defined for 

0

x

<

 then, 

lim

0

r

x

c

x

→−∞

=

 

 
The first part of this fact should make sense if you think about it.  Because we are requiring 

0

r

>

 we know that x

r

 will stay in the denominator.  Next as we increase x then x

r

 will also 

increase.  So, we have a constant divided by an increasingly large number and so the result will 
be increasingly small.  Or, in the limit we will get zero. 
 
The second part is nearly identical except we need to worry about x

r

 being defined for negative x.  

This condition is here to avoid cases such as 

1
2

r

=

.  If this r were allowed then we’d be taking 

the square root of negative numbers which would be complex and we want to avoid that at this 
level. 
 
Note as well that the sign of c will not affect the answer.  Regardless of the sign of c we’ll still 
have a constant divided by a very large number which will result in a very small number and the 
larger x get the smaller the fraction gets.  The sign of c will affect which direction the fraction 
approaches zero (i.e. from the positive or negative side) but it still approaches zero. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

54 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

If you think about it this is really a special case of the last Fact from the 

Facts

 in the previous 

section. However, to see a direct proof of this fact see the 

Proof of Various Limit Properties

 

section in the Extras chapter. 
 
Let’s start off the examples with one that will lead us to a nice idea that we’ll use on a regular 
basis about limits at infinity for polynomials. 
 
 

Example 1  

Evaluate each of the following limits. 

(a) 

(

)

4

2

lim 2

8

x

x

x

x

→∞

   

[

Solution

]

 

(b) 

(

)

5

3

2

1
3

lim

2

8

t

t

t

t

→−∞

+

− +

   

[

Solution

]

 

 
Solution 

(a) 

(

)

4

2

lim 2

8

x

x

x

x

→∞

 

Our first thought here is probably to just “plug” infinity into the polynomial and “evaluate” each 
term to determine the value of the limit.  It is pretty simple to see what each term will do in the 
limit and so this seems like an obvious step, especially since we’ve been doing that for other 
limits in previous sections.   
 
So, let’s see what we get if we do that.  As x approaches infinity, then x to a power can only get 
larger and the coefficient on each term (the first and third) will only make the term even larger.  
So, if we look at what each term is doing in the limit we get the following, 

 

(

)

4

2

lim 2

8

x

x

x

x

→∞

= ∞ − ∞ − ∞

 

 
Now, we’ve got a small, but easily fixed, problem to deal with.  We are probably tempted to say 
that the answer is zero (because we have an infinity minus an infinity) or maybe 

−∞

(because 

we’re subtracting two infinities off of one infinity).  However, in both cases we’d be wrong.  This 
is one of those indeterminate forms that we first started seeing in a previous 

section

.   

 
Infinities just don’t always behave as real numbers do when it comes to arithmetic.  Without more 
work there is simply no way to know what 

∞ − ∞

 will be and so we really need to be careful 

with this kind of problem.  To read a little more about this see the 

Types of Infinity

 section in the 

Extras chapter. 
 
So, we need a way to get around this problem.  What we’ll do here is factor the largest power of x 
out of the whole polynomial as follows, 

 

(

)

4

2

4

2

3

1

8

lim 2

8

lim

2

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

=

 

 
If you’re not sure you agree with the factoring above (there’s a chance you haven’t really been 
asked to do this kind of factoring prior to this) then recall that to check all you need to do is 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

55 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

multiply the 

4

x

 back through the parenthesis to verify it was done correctly.  Also, an easy way 

to remember how to do this kind of factoring is to note that the second term is just the original 

polynomial divided by 

4

x

.  This will always work when factoring a power of x out of a 

polynomial. 
 
Now for each of the terms we have, 

 

4

2

3

1

8

lim

lim 2

2

x

x

x

x

x

→∞

→∞

= ∞

=

 

 
The first limit is clearly infinity and for the second limit we’ll use the fact above on the last two 
terms.  Therefore using 

Fact 2

 from the previous section we see value of the limit will be, 

 

(

)

4

2

lim 2

8

x

x

x

x

→∞

= ∞

 

 [

Return to Problems

 

(b) 

(

)

5

3

2

1
3

lim

2

8

t

t

t

t

→−∞

+

− +

 

We’ll work this part much quicker than the previous part.  All we need to do is factor out the 
largest power of t to get the following, 

 

(

)

5

3

2

5

1
3

2

3

5

1

2

1

8

lim

2

8

lim

3

t

t

t

t

t

t

t

t

t

→−∞

→−∞

+

− + =

+

− +

 

 
Remember that all you need to do to get the factoring correct is divide the original polynomial by 

the power of t we’re factoring out, 

5

t

 in this case. 

 
Now all we need to do is take the limit of the two terms.  In the first don’t forget that since we’re 
going out towards 

−∞

 and we’re raising t to the 5

th

 power that the limit will be negative 

(negative number raised to an odd power is still negative).  In the second term we’ll again make 
heavy use of the fact above to see that is a finite number. 
 
Therefore, using the a modification of the 

Facts

 from the previous section the value of the limit is, 

 

(

)

5

3

2

1
3

lim

2

8

t

t

t

t

→−∞

+

− + = −∞

 

 [

Return to Problems

 
Okay, now that we’ve seen how a couple of polynomials work we can give a simple fact about 
polynomials in general. 
 
 
 
 
Fact 2 

If 

( )

1

1

1

0

n

n

n

n

p x

a x

a

x

a x

a

=

+

+ +

+

 is a polynomial of degree n (i.e. 

0

n

a

 then, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

56 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

( )

( )

lim

lim

lim

lim

n

n

n

n

x

x

x

x

p x

a x

p x

a x

→∞

→∞

→−∞

→−∞

=

=

 

 
What this fact is really saying is that when we go to take a limit at infinity for a polynomial then 
all we need to really do is look at the term with the largest power and ask what that term is doing 
in the limit since the polynomial will have the same behavior.   
 
You can see the proof in the 

Proof of Various Limit Properties

 section in the Extras chapter. 

 
Let’s now move into some more complicated limits. 
 

Example 2  

Evaluate both of the following limits. 

 

4

2

4

2

4

4

2

8

2

8

lim

lim

5

7

5

7

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→−∞

+

+

+

+

 

Solution 
First, the only difference between these two is that one is going to positive infinity and the other 
is going to negative infinity.  Sometimes this small difference will affect then value of the limit 
and at other times it won’t. 
 
Let’s start with the first limit and as with our first set of examples it might be tempting to just 
“plug” in the infinity.  Since both the numerator and denominator are polynomials we can use the 
above fact to determine the behavior of each.  Doing this gives, 

 

4

2

4

2

8

lim

5

7

x

x

x

x

x

→∞

+

=

+

−∞

 

 
This is yet another indeterminate form.  In this case we might be tempted to say that the limit is 
infinity (because of the infinity in the numerator), zero (because of the infinity in the 
denominator) or -1 (because something divided by itself is one).  There are three separate 
arithmetic “rules” at work here and without work there is no way to know which “rule” will be 
correct and to make matters worse it’s possible that none of them may work and we might get a 

completely different answer, say 

2

5

 to pick a number completely at random. 

 
So, when we have a polynomial divided by a polynomial we’re going to proceed much as we did 
with only polynomials.  We first identify the largest power of x in the denominator (and yes, we 
only look at the denominator for this) and we then factor this out of both the numerator and 
denominator.  Doing this for the first limit gives, 

 

4

4

2

2

3

4

4

4

1

8

2

2

8

lim

lim

7

5

7

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

+

+

=

+

− +

 

 

Once we’ve done this we can cancel the 

4

x

 from both the numerator and the denominator and 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

57 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

then use the Fact 1 above to take the limit of all the remaining terms.  This gives, 

 

4

2

2

3

4

4

1

8

2

2

8

lim

lim

7

5

7

5

2 0 0

5 0

2

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

+

+

=

+

− +

+ +

=

− +

= −

 

 
In this case the indeterminate form was neither of the “obvious” choices of infinity, zero, or -1 so 
be careful with make these kinds of assumptions with this kind of indeterminate forms. 
 
The second limit is done in a similar fashion.  Notice however, that nowhere in the work for the 
first limit did we actually use the fact that the limit was going to plus infinity.  In this case it 
doesn’t matter which infinity we are going towards we will get the same value for the limit. 

 

4

2

4

2

8

2

lim

5

7

5

x

x

x

x

x

→−∞

+

= −

+

 

 
In the previous example the infinity that we were using in the limit didn’t change the answer.  
This will not always be the case so don’t make the assumption that this will always be the case. 
 
Let’s take a look at an example where we get different answers for each limit. 
 

Example 3  

Evaluate each of the following limits. 

 

2

2

3

6

3

6

lim

lim

5 2

5 2

x

x

x

x

x

x

→∞

→−∞

+

+

 

Solution 
The square root in this problem won’t change our work, but it will make the work a little messier. 
 
Let’s start with the first limit.  In this case the largest power of x in the denominator is just an x.  
So we need to factor an x out of the numerator and the denominator.  When we are done factoring 
the x out we will need an x in both of the numerator and the denominator.  To get this in the 
numerator we will have to factor an x

2

 out of the square root so that after we take the square root 

we will get an x
 
This is probably not something you’re used to doing, but just remember that when it comes out of 
the square root it needs to be an x and the only way have an x come out of a square is to take the 
square root of x

2

 and so that is what we’ll need to factor out of the term under the radical.  Here’s 

the factoring work for this part, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

58 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

2

2

2

2

2

6

3

3

6

lim

lim

5

5 2

2

6

3

lim

5

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

→∞

+

+

=

+

=

 

 
This is where we need to be really careful with the square root in the problem.  Don’t forget that 

 

2

x

x

=  

 
Square roots are ALWAYS positive and so we need the absolute value bars on the x to make sure 
that it will give a positive answer.  This is not something that most people ever remember seeing 
in an Algebra class and in fact it’s not always given in an Algebra class.  However, at this point it 
becomes absolutely vital that we know and use this fact.  Using this fact the limit becomes, 

 

2

2

6

3

3

6

lim

lim

5

5 2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

+

+

=

 

 
Now, we can’t just cancel the x’s.  We first will need to get rid of the absolute value bars.  To do 
this let’s recall the definition of absolute value. 

 

if 0

if 0

x

x

x

x

x

= 

<

 

 
In this case we are going out to plus infinity so we can safely assume that the x will be positive 
and so we can just drop the absolute value bars.  The limit is then, 

 

2

2

2

6

3

3

6

lim

lim

5

5 2

2

6

3

3 0

3

lim

5

0 2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

→∞

+

+

=

+

+

=

=

= −

 

Let’s now take a look at the second limit (the one with negative infinity).  In this case we will 
need to pay attention to the limit that we are using.  The initial work will be the same up until we 
reach the following step. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

59 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

2

2

6

3

3

6

lim

lim

5

5 2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

→−∞

→−∞

+

+

=

 

 
In this limit we are going to minus infinity so in this case we can assume that x is negative.  So, in 
order to drop the absolute value bars in this case we will need to tack on a minus sign as well.  
The limit is then, 

 

2

2

2

6

3

3

6

lim

lim

5

5 2

2

6

3

lim

5

2

3

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→−∞

→−∞

→−∞

+

+

=

+

=

=

 

 
So, as we saw in the last two examples sometimes the infinity in the limit will affect the answer 
and other times it won’t.  Note as well that it doesn’t always just change the sign of the number.  
It can on occasion completely change the value.  We’ll see an example of this later in this section. 
 
Before moving on to a couple of more examples let’s revisit the idea of asymptotes that we first 
saw in the previous section.  Just as we can have vertical asymptotes defined in terms of limits we 
can also have horizontal asymptotes defined in terms of limits. 
 
Definition 
The function f(x) will have a horizontal asymptote at y=L if either of the following are true. 

 

( )

( )

lim

lim

x

x

f x

L

f x

L

→∞

→−∞

=

=  

 
We’re not going to be doing much with asymptotes here, but it’s an easy fact to give and we can 
use the previous example to illustrate all the asymptote ideas we’ve seen in the both this section 
and the previous section.  The function in the last example will have two horizontal asymptotes.  
It will also have a vertical asymptote.  Here is a graph of the function showing these. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

60 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Let’s work another couple of examples involving rational expressions. 
 

Example 4  

Evaluate each of the following limits. 

 

2

6

2

6

3

3

4

4

lim

lim

1 5

1 5

z

z

z

z

z

z

z

z

→∞

→−∞

+

+

 

Solution 
Let’s do the first limit and in this case it looks like we will factor a z

3

 out of both the numerator 

and denominator.  Remember that we only look at the denominator when determining the largest 
power of z here.  There is a larger power of z in the numerator but we ignore it.  We ONLY look 
at the denominator when doing this!  So doing the factoring gives, 

 

3

3

2

6

3

3

3

3

3

4

4

lim

lim

1

1 5

5

4

lim

1

5

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

→∞

→∞

→∞

+

+

=

+

=

 

 
When we take the limit we’ll need to be a little careful.  The first term in the numerator and 
denominator will both be zero.  However, the z

3

 in the numerator will be going to plus infinity in 

the limit and so the limit is, 

 

2

6

3

4

lim

1 5

5

z

z

z

z

→∞

+

=

= −∞

 

 
The final limit is negative because we have a quotient of positive quantity and a negative 
quantity.   
 
Now, let’s take a look at the second limit.  Note that the only different in the work is at the final 
“evaluation” step and so we’ll pick up the work there. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

61 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

3

2

6

3

3

4

4

lim

lim

1

1 5

5

5

z

z

z

z

z

z

z

z

→−∞

→−∞

+

+

−∞

=

=

= ∞

 

 
In this case the z

3

 in the numerator gives negative infinity in the limit since we are going out to 

minus infinity and the power is odd.  The answer is positive since we have a quotient of two 
negative numbers. 

 

Example 5  

Evaluate the following limit. 

 

2

4

3

5

9

lim

2

3

t

t

t

t

t

→−∞

− −

+

 

Solution 

In this case it looks like we will factor a 

4

t

 out of both the numerator and denominator.  Doing 

this gives, 

 

4

2

2

3

4

4

3

4

2

3

4

1

5

9

5

9

lim

lim

3

2

3

2

1

5

9

lim

3

2

0

2

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

→−∞

→−∞

→−∞

− −

− −

=

+

+

− −

=

+

=

=

 

 
In this case using Fact 1 we can see that the numerator is zero and so since the denominator is 
also not zero the fraction, and hence the limit, will be zero. 

 
In this section we concentrated on limits at infinity with functions that only involved polynomials 
and/or rational expression involving polynomials.  There are many more types of functions that 
we could use here.  That is the subject of the next section. 
 
To see a precise and mathematical definition of this kind of limit see the 

The Definition of the 

Limit

 section at the end of this chapter.

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

62 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Limits At Infinity, Part II 

In the previous section we looked at limits at infinity of polynomials and/or rational expression 
involving polynomials.  In this section we want to take a look at some other types of functions 
that often show up in limits at infinity.  The functions we’ll be looking at here are exponentials, 
natural logarithms and inverse tangents. 
 
Let’s start by taking a look at a some of very basic examples involving exponential functions. 
 

Example 1  

Evaluate each of the following limits. 

 

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→−∞

→∞

→−∞

e

e

e

 

Solution 
There are really just restatements of facts given in the 

basic exponential section

 of the review so 

we’ll leave it to you to go back and verify these. 

 

lim

lim

0

lim

0

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→−∞

→∞

→−∞

= ∞

=

=

= ∞

e

e

e

e

 

 
The main point of this example was to point out that if the exponent of an exponential goes to 
infinity in the limit then the exponential function will also go to infinity in the limit.  Likewise, if 
the exponent goes to minus infinity in the limit then the exponential will go to zero in the limit. 
 
Here’s a quick set of examples to illustrate these ideas. 
 

Example 2  

Evaluate each of the following limits. 

(a) 

2

2 4

8

lim

x

x

x

→∞

e

   

[

Solution

]

 

(b) 

4

2

5

1

lim

t

t

t

+

→−∞

e

   

[

Solution

]

 

(c) 

1

0

lim

z

z

+

e

   

[

Solution

]

 

 
Solution 

(a) 

2

2 4

8

lim

x

x

x

→∞

e

 

In this part what we need to note (using Fact 2 above) is that in the limit the exponent of the 
exponential does the following, 

 

(

)

2

lim 2 4

8

x

x

x

→∞

= −∞

 

 
So, the exponent goes to minus infinity in the limit and so the exponential must go to zero in the 
limit using the ideas from the previous set of examples.  So, the answer here is, 

 

2

2 4

8

lim

0

x

x

x

→∞

=

e

 

[

Return to Problems


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

63 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

(b) 

4

2

5

1

lim

t

t

t

+

→−∞

e

 

Here let’s first note that, 

 

(

)

4

2

lim

5

1

t

t

t

→−∞

+ = ∞

 

 
The exponent goes to infinity in the limit and so the exponential will also need to go to infinity in 
the limit.  Or, 

 

4

2

5

1

lim

t

t

t

+

→−∞

= ∞

e

 

[

Return to Problems

 

(c) 

1

0

lim

z

z

+

e

 

On the surface this part doesn’t appear to belong in this section since it isn’t a limit at infinity.  
However, it does fit into the ideas we’re examining in this set of examples.  
 
So, let’s first note that using the idea from the previous section we have, 

 

0

1

lim

z

z

+

= ∞

 

Remember that in order to do this limit here we do need to do a right hand limit. 
 
So, the exponent goes to infinity in the limit and so the exponential must also go to infinity. 
 
Here’s the answer to this part. 

 

1

0

lim

z

z

+

= ∞

e

 

[

Return to Problems

 
Let’s work some more complicated examples involving exponentials.  In the following set of 
examples it won’t be that the exponents are more complicated, but instead that there will be more 
than one exponential function to deal with. 
 

Example 3  

Evaluate each of the following limits. 

(a) 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

→∞

+

+

e

e

e

e

e

   

[

Solution

]

 

(b) 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

+

e

e

e

e

e

   

[

Solution

]

 

 
Solution 
So, the only difference between these two limits is the fact that in the first we’re taking the limit 
as we go to plus infinity and in the second we’re going to minus infinity.  To this point we’ve 
been able to “reuse” work from the first limit in the at least a portion of the second limit.  With 
exponentials that will often not be the case, we’re going to treat each of these as separate 
problems. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

64 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

(a) 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

→∞

+

+

e

e

e

e

e

 

Let’s start by just taking the limit of each of the pieces and see what we get. 

 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

0 0

x

x

x

x

x

x

→∞

+

+

= ∞ − ∞ + ∞ + −

e

e

e

e

e

 

 
The last two terms aren’t any problem (they will be in the next part however, do you see that?).  
The first three are a problem however as they present us with another indeterminate form. 
 
When dealing with polynomials we factored out the term with the largest exponent in it.  Let’s do 
the same thing here.  However, we now have to deal with both positive and negative exponents 
and just what do we mean by the “largest” exponent.  When dealing with these here we look at 
the terms that are causing the problems and ask which is the largest exponent in those terms.  So, 
since only the first three terms are causing us problems (i.e. they all evaluate to an infinity in the 
limit) we’ll look only at those.   
 

So, since 10x is the largest of the three exponents there we’ll “factor” an 

10

x

e

 out of the whole 

thing.  Just as with polynomials we do the factoring by, in essence, dividing each term by 

10

x

e

 

and remembering that to simply the division all we need to do is subtract the exponents.  For 
example, let’s just take a look at the last term, 

 

15

15

10

25

10

9

9

9

x

x

x

x

x

= −

= −

e

e

e

e

 

Doing factoring on all terms then gives, 

 

(

)

(

)

10

6

2

15

10

4

9

12

25

lim

4

3

2

9

lim

1 4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

+

+

=

+

+

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

 

 
Notice that in doing this factoring all the remaining exponentials now have negative exponents 
and we know that for this limit (i.e. going out to positive infinity) these will all be zero in the 
limit and so will no longer cause problems. 
 
We can now take the limit of the two factors.  The first is clearly infinity and the second is clearly 
a finite number (one in this case) and so the 

Facts

 from the Infinite Limits section gives us the 

following limit, 

 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

→∞

+

+

= ∞

e

e

e

e

e

 

 

To simplify the work here a little all we really needed to do was factor the 

10

x

e

 out of the 

“problem” terms (the first three in this case) as follows, 

 

(

)

(

)

( )( )

10

6

10

4

9

2

15

lim

4

3

lim

1 4

3

2

9

1

0 0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

+

=

+

+

= ∞

+ −

= ∞

e

e

e

e

e

e

e

e

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

65 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

We factored the 

10

x

e

out of all terms for the practice of doing the factoring and to avoid any 

issues with having the extra terms at the end.  Note as well that while we wrote 

( )( )

1

 for the 

limit of the first term we are really using the 

Facts

 from the Infinite Limit section to do that limit. 

[

Return to Problems

 

(b) 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

+

e

e

e

e

e

 

Let’s start this one off in the same manner as the first part.  Let’s take the limit of each of the 
pieces.  This time note that because our limit is going to negative infinity the first three 
exponentials will in fact go to zero (because their exponents go to minus infinity in the limit).  
The final two exponentials will go to infinity in the limit (because their exponents go to plus 
infinity in the limit). 
 
Taking the limits gives, 

 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

0 0 0

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

+

= − + + ∞ − ∞

e

e

e

e

e

 

 
So, the last two terms are the problem here as they once again leave us with an indeterminate 
form.  As with the first example we’re going to factor out the “largest” exponent in the last two 
terms.  This time however, “largest” doesn’t refer to the bigger of the two numbers (-2 is bigger 
than -15).  Instead we’re going to use “largest” to refer to the exponent that is farther away from 

zero.  Using this definition of “largest” means that we’re going to factor an 

15

x

e

 out.  

 

Again, remember that to factor this out all we really are doing is dividing each term by 

15

x

e

 and 

then subtracting exponents.  Here’s the work for the first term as an example, 

 

(

)

10

10

15

25

15

x

x

x

x

x

− −

=

=

e

e

e

e

 

 
As with the first part we can either factor it out of only the “problem” terms (i.e. the last two 
terms), or all the terms.  For the practice we’ll factor it out of all the terms.  Here is the factoring 
work for this limit, 
 

 

(

)

(

)

10

6

2

15

15

25

21

16

13

lim

4

3

2

9

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→−∞

→−∞

+

+

=

+

+

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

 

 
Finally, after taking the limit of the two terms (the first is infinity and the second is a negative, 
finite number) and recalling the 

Facts

 from the Infinite Limit section we see that the limit is, 

 

(

)

10

6

2

15

lim

4

3

2

9

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

+

= −∞

e

e

e

e

e

 

[

Return to Problems

]

 

 
So, when dealing with sums and/or differences of exponential functions we look for the 
exponential with the “largest” exponent and remember here that “largest” means the exponent 
farthest from zero.  Also remember that if we’re looking at a limit at plus infinity only the 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

66 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

exponentials with positive exponents are going to cause problems so those are the only terms we 
look at in determining the largest exponent.  Likewise, if we are looking at a limit at minus 
infinity then only exponentials with negative exponents are going to cause problems and so only 
those are looked at in determining the largest exponent. 
 
Finally, as you might have been able to guess from the previous example when dealing with a 
sum and/or difference of exponentials all we need to do is look at the largest exponent to 
determine the behavior of the whole expression.  Again, remembering that if the limit is at plus 
infinity we only look at exponentials with positive exponents and if we’re looking at a limit at 
minus infinity we only look at exponentials with negative exponents. 
 
Let’s next take a look at some rational functions involving exponentials. 
 

Example 4  

Evaluate each of the following limits. 

(a) 

4

2

4

2

6

lim

8

3

x

x

x

x

x

x

→∞

+

e

e

e

e

e

   

[

Solution

]

 

(b) 

4

2

4

2

6

lim

8

3

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

e

e

e

e

e

   

[

Solution

]

 

(c) 

6

6

3

9

3

4

lim

2

5

t

t

t

t

t

t

→−∞

+

e

e

e

e

e

   

[

Solution

]

 

 
Solution 
As with the previous example, the only difference between the first two parts is that one of the 
limits is going to plus infinity and the other is going to minus infinity and just as with the 
previous example each will need to be worked differently. 
 

(a) 

4

2

4

2

6

lim

8

3

x

x

x

x

x

x

→∞

+

e

e

e

e

e

 

The basic concept involved in working this problem is the same as with rational expressions in 
the previous section.  We look at the denominator and determine the exponential function with 
the “largest” exponent which we will then factor out from both numerator and denominator.  We 
will use the same reasoning as we did with the previous example to determine the “largest” 
exponent.  In the case since we are looking at a limit at plus infinity we only look at exponentials 
with positive exponents. 
 

So, we’ll factor an 

4

x

e

 out of both then numerator and denominator.  Once that is done we can 

cancel the 

4

x

e

 and then take the limit of the remaining terms.  Here is the work for this limit, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

67 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

(

)

(

)

4

6

4

2

4

2

4

2

5

6

2

5

6

6

lim

lim

8

3

8

3

6

lim

8

3

6 0

8 0 0

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→∞

→∞

→∞

=

+

+

=

+

=

− +

=

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

 

[

Return to Problems

(b) 

4

2

4

2

6

lim

8

3

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

e

e

e

e

e

 

In this case we’re going to minus infinity in the limit and so we’ll look at exponentials in the 
denominator with negative exponents in determining the “largest” exponent.  There’s only one 
however in this problem so that is what we’ll use.   
 
Again, remember to only look at the denominator.  Do NOT use the exponential from the 
numerator, even though that one is “larger” than the exponential in the denominator.  We always 
look only at the denominator when determining what term to factor out regardless of what is 
going on in the numerator. 
 
Here is the work for this part. 

 

(

)

(

)

4

2

4

2

5

5

3

5

5

3

6

6

lim

lim

8

3

8

3

6

lim

8

3

0

0 0 3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

→−∞

→−∞

→−∞

=

+

+

=

+

− ∞

=

− +

= −∞

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

 

 [

Return to Problems

 

(c) 

6

6

3

9

3

4

lim

2

5

t

t

t

t

t

t

→−∞

+

e

e

e

e

e

 

We’ll do the work on this part with much less detail. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

68 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

(

)

(

)

9

15

3

6

6

3

9

3

9

12

6

15

3

12

6

4

4

lim

lim

2

5

2

5

4

lim

2

5

0 0

0 5 0

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

→−∞

→−∞

→−∞

=

+

− +

=

− +

=

− +

=

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

 

[

Return to Problems

 
Next, let’s take a quick look at some basic limits involving logarithms. 
 

Example 5  

Evaluate each of the following limits. 

 

0

lim ln

lim ln

x

x

x

x

+

→∞

 

Solution 
As with the last example I’ll leave it to you to verify these restatements from the 

basic logarithm 

section

 

0

lim ln

lim ln

x

x

x

x

+

→∞

= −∞

= ∞  

 
Note that we had to do a right-handed limit for the first one since we can’t plug negative x’s into a 
logarithm.  This means that the normal limit won’t exist since we must look at x’s from both sides 
of the point in question and x’s to the left of zero are negative. 

 
From the previous example we can see that if the argument of a log (the stuff we’re taking the log 
of) goes to zero from the right (i.e. always positive) then the log goes to negative infinity in the 
limit while if the argument goes to infinity then the log also goes to infinity in the limit. 
 
Note as well that we can’t look at a limit of a logarithm as x approaches minus infinity since we 
can’t plug negative numbers into the logarithm. 
 
Let’s take a quick look at some logarithm examples. 
 

Example 6  

Evaluate each of the following limits. 

(a) 

(

)

3

2

lim ln 7

1

x

x

x

→∞

+

   

[

Solution

]

 

(b) 

2

1

lim ln

5

t

t

t

→−∞

   

[

Solution

]

 

 
Solution 

(a) 

(

)

3

2

lim ln 7

1

x

x

x

→∞

+

 

So, let’s first look to see what the argument of the log is doing, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

69 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

(

)

3

2

lim 7

1

x

x

x

→∞

+ = ∞

 

 
The argument of the log is going to infinity and so the log must also be going to infinity in the 
limit.  The answer to this part is then, 

 

(

)

3

2

lim ln 7

1

x

x

x

→∞

+ = ∞

 

[

Return to Problems

 

(b) 

2

1

lim ln

5

t

t

t

→−∞

 

First, note that the limit going to negative infinity here isn’t a violation (necessarily) of the fact 
that we can’t plug negative numbers into the logarithm.  The real issue is whether or not the 
argument of the log will be negative or not. 
 
Using the techniques from earlier in this section we can see that, 

 

2

1

lim

0

5

t

t

t

→−∞

=

 

 and let’s also note that for negative numbers (which we can assume we’ve got since we’re going 
to minus infinity in the limit) the denominator will always be positive and so the quotient will 
also always be positive.  Therefore, not only does the argument go to zero, it goes to zero from 
the right.  This is exactly what we need to do this limit. 
 
So, the answer here is, 

 

2

1

lim ln

5

t

t

t

→−∞

 = −∞

 

 

[

Return to Problems

 
As a final set of examples let’s take a look at some limits involving inverse tangents. 
 

Example 7  

Evaluate each of the following limits. 

(a) 

1

lim tan

x

x

→∞

   

[

Solution

]

 

(b) 

1

lim tan

x

x

→−∞

   

[

Solution

]

 

(c) 

(

)

1

3

lim tan

5

6

x

x

x

→∞

+

   

[

Solution

]

 

(d) 

1

0

1

lim tan

x

x

 

 

 

   

[

Solution

]

 

 
Solution 
The first two parts here are really just the basic limits involving inverse tangents and can easily be 
found by examining the following sketch of inverse tangents.  The remaining two parts are more 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

70 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

involved but as with the exponential and logarithm limits really just refer back to the first two 
parts as we’ll see. 

 

 

(a) 

1

lim tan

x

x

→∞

 

As noted above all we really need to do here is look at the graph of the inverse tangent.  Doing 
this shows us that we have the following value of the limit. 

 

1

lim tan

2

x

x

π

→∞

=

 

 [

Return to Problems

 

(b) 

1

lim tan

x

x

→−∞

 

Again, not much to do here other than examine the graph of the inverse tangent. 

 

1

lim tan

2

x

x

π

→−∞

= −

 

 

[

Return to Problems

 

(c) 

(

)

1

3

lim tan

5

6

x

x

x

→∞

+

 

Okay, in part (a) above we saw that if the argument of the inverse tangent function (the stuff 
inside the parenthesis) goes to plus infinity then we know the value of the limit.  In this case 
(using the techniques from the previous section) we have, 

 

3

lim

5

6

x

x

x

→∞

+ = ∞

 

 
So, this limit is, 

 

(

)

1

3

lim tan

5

6

2

x

x

x

π

→∞

+

=

 

[

Return to Problems

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

71 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

(d) 

1

0

1

lim tan

x

x

 

 

 

 

Even though this limit is not a limit at infinity we’re still looking at the same basic idea here.  
We’ll use part (b) from above as a guide for this limit.  We know from the 

Infinite Limits

 section 

that we have the following limit for the argument of this inverse tangent, 

 

0

1

lim

x

x

= −∞

 

 
So, since the argument goes to minus infinity in the limit we know that this limit must be, 

 

1

0

1

lim tan

2

x

x

π

  = −

 

 

 

[

Return to Problems

]

 

 
To see a precise and mathematical definition of this kind of limit see the 

The Definition of the 

Limit

 section at the end of this chapter. 

 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

72 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Continuity 

Over the last few sections we’ve been using the term “nice enough” to define those functions that 
we could evaluate limits by just evaluating the function at the point in question.  It’s now time to 
formally define what we mean by “nice enough”. 
 
Definition 

A function 

( )

f x

 is said to be continuous at 

x

a

=

 if  

 

( )

( )

lim

x

a

f x

f a

=

 

A function is said to be continuous on the interval [a, b] if it is continuous at each point in the 
interval. 

 

Note that this definition is also implicitly assuming that both 

( )

f a

 and 

( )

lim

x

a

f x

 exist.  If 

either of these do not exist then the function will not be continuous at 

x

a

=

 
This definition can be turned around into the following fact. 
 
Fact 1 

If 

( )

f x

 is continuous at 

x

a

=

then, 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

x

a

x

a

x

a

f x

f a

f x

f a

f x

f a

+

=

=

=

 

 
This is exactly the same fact that we first put down 

back

 when we started looking at limits with 

the exception that we have replaced the phrase “nice enough” with continuous.   
 
It’s nice to finally know what we mean by “nice enough”, however, the definition doesn’t really 
tell us just what it means for a function to be continuous.  Let’s take a look at an example to help 
us understand just what it means for a function to be continuous. 
 

Example 1  

Given the graph of f(x), shown below, determine if f(x) is continuous at 

2

x

= −

0

x

=

, and 

3

x

=


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

73 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Solution 
To answer the question for each point we’ll need to get both the limit at that point and the 
function value at that point.  If they are equal the function is continuous at that point and if they 
aren’t equal the function isn’t continuous at that point. 
 

First 

2

x

= −

. 

 

( )

( )

2

2

2

lim

doesn't exist

x

f

f x

→−

− =

 

The function value and the limit aren’t the same and so the function is not continuous at this 
point.  This kind of discontinuity in a graph is called a jump discontinuity.  Jump discontinuities 
occur where the graph has a break in it as this graph does. 
 

Now 

0

x

=

 

( )

( )

0

0

1

lim

1

x

f

f x

=

=  

The function is continuous at this point since the function and limit have the same value. 
 

Finally 

3

x

=

 

( )

( )

3

3

1

lim

0

x

f

f x

= −

=  

The function is not continuous at this point.  This kind of discontinuity is called a removable 
discontinuity
.  Removable discontinuities are those where there is a hole in the graph as there is 
in this case. 

 
From this example we can get a quick “working” definition of continuity.  A function is 
continuous on an interval if we can draw the graph from start to finish without ever once picking 
up our pencil.  The graph in the last example has only two discontinuities since there are only two 
places where we would have to pick up our pencil in sketching it.   
In other words, a function is continuous if its graph has no holes or breaks in it. 
 
For many functions it’s easy to determine where it won’t be continuous.  Functions won’t be 
continuous where we have things like division by zero or logarithms of zero.  Let’s take a quick 
look at an example of determining where a function is not continuous. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

74 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Example 2  

Determine where the function below is not continuous. 

 

( )

2

4

10

2

15

t

h t

t

t

+

=

− −

 

Solution 
Rational functions are continuous everywhere except where we have division by zero.  So all that 
we need to is determine where the denominator is zero.  That’s easy enough to determine by 
setting the denominator equal to zero and solving. 

 

(

)(

)

2

2

15

5

3

0

t

t

t

t

− −

= −

+ =  

 
So, the function will not be continuous at t=-3 and t=5

 
A nice consequence of continuity is the following fact. 
 
 
 
 
Fact 2 

If 

( )

f x

 is continuous at 

x

b

=

 and 

( )

lim

x

a

g x

b

=

 then, 

 

( )

(

)

( )

(

)

lim

lim

x

a

x

a

f g x

f

g x

=

 

 
To see a proof of this fact see the 

Proof of Various Limit Properties

 section in the Extras chapter.  

With this fact we can now do limits like the following example. 
 

Example 3  

Evaluate the following limit. 

 

0

sin

lim

x

x

e

 

Solution 
Since we know that exponentials are continuous everywhere we can use the fact above. 

 

0

0

0

lim sin

sin

lim

1

x

x

x

x

=

=

=

e

e

e

 

 
Another very nice consequence of continuity is the Intermediate Value Theorem. 
 
Intermediate Value Theorem 
Suppose that f(x) is continuous on [a, b] and let M be any number between f(a) and f(b).   Then 
there exists a number c such that, 

1. 

a

c

b

< <

 

2. 

( )

f c

M

=

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

75 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

All the Intermediate Value Theorem is really saying is that a continuous function will take on all 
values between f(a) and f(b).  Below is a graph of a continuous function that illustrates the 
Intermediate Value Theorem. 

 

As we can see from this image if we pick any value, M, that is between the value of f(a) and the 
value of f(b) and draw a line straight out from this point the line will hit the graph in at least one 
point.  In other words somewhere between a and b the function will take on the value of M.  Also, 
as the figure shows the function may take on the value at more than one place. 
 
It’s also important to note that the Intermediate Value Theorem only says that the function will 
take on the value of M somewhere between a and b.  It doesn’t say just what that value will be.  It 
only says that it exists.   
 
So, the Intermediate Value Theorem tells us that a function will take the value of M somewhere 
between a and b but it doesn’t tell us where it will take the value nor does it tell us how many 
times it will take the value.  There are important idea to remember about the Intermediate Value 
Theorem. 
 
A nice use of the Intermediate Value Theorem is to prove the existence of roots of equations as 
the following example shows. 
 

Example 4  

Show that 

( )

3

2

2

5

10

5

p x

x

x

x

=

+

 has a root somewhere in the interval  

[-1,2]. 
 
Solution 
What we’re really asking here is whether or not the function will take on the value 

 

( )

0

p x

=  

somewhere between -1 and 2.  In other words, we want to show that there is a number c such that 

1

2

c

− < <

 and 

( )

0

p c

=

.  However if we define 

0

M

=

 and acknowledge that 

1

a

= −

 and 

2

b

=

 we can see that these two condition on c are exactly the conclusions of the Intermediate 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

76 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Value Theorem. 
 
So, this problem is set up to use the Intermediate Value Theorem and in fact, all we need to do is 

to show that the function is continuous and that 

0

M

=

 is between

( )

1

p

 and 

( )

2

p

 (i.e. 

( )

( )

1

0

2

p

p

− < <

 or 

( )

( )

2

0

1

p

p

< <

 and we’ll be done. 

 
To do this all we need to do is compute, 

 

( )

( )

1

8

2

19

p

p

− =

= −  

 
So we have, 

 

( )

( )

19

2

0

1

8

p

p

− =

< <

− =  

 

Therefore 

0

M

=

 is between

( )

1

p

 and 

( )

2

p

 and since 

( )

p x

 is a polynomial it’s continuous 

everywhere and so in particular it’s continuous on the interval [-1,2].  So by the Intermediate 

Value Theorem there must be a number 

1

2

c

− < <

 so that,  

 

( )

0

p c

=  

 
Therefore the polynomial does have a root between -1 and 2.   
 
For the sake of completeness here is a graph showing the root that we just proved existed.  Note 
that we used a computer program to actually find the root and that the Intermediate Value 
Theorem did not tell us what this value was. 

 

 
Let’s take a look at another example of the Intermediate Value Theorem. 
 

Example 5  

If possible, determine if 

( )

(

)

2

20 sin

3 cos

2

x

f x

x

=

+

 takes the following values 

in the interval [0,5]. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

77 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

(a) Does 

( )

10

f x

=

?   

[

Solution

]

 

(b) Does 

( )

10

f x

= −

?   

[

Solution

]

 

 
Solution 
Okay, so much as the previous example we’re being asked to determine, if possible, if the 
function takes on either of the two values above in the interval [0,5].  First, let’s notice that this is 
a continuous function and so we know that we can use the Intermediate Value Theorem to do this 
problem. 
 
Now, for each part we will let M be the given value for that part and then we’ll need to show that 

M lives between 

( )

0

f

 and 

( )

5

f

.  If it does then we can use the Intermediate Value Theorem to 

prove that the function will take the given value. 
 
So, since we’ll need the two function evaluations for each part let’s give them here, 
 

 

( )

( )

0

2.8224

5

19.7436

f

f

=

=

 

Now, let’s take a look at each part. 
 

(a) Okay, in this case we’ll define 

10

M

=

 and we can see that, 

 

( )

( )

0

2.8224 10 19.7436

5

f

f

=

<

<

=

 

 

So, by the Intermediate Value Theorem there must be a number 

0

5

c

≤ ≤

 such that 

 

( )

10

f c

=

 

[

Return to Problems

 

(b) In this part we’ll define 

10

M

= −

.  We now have a problem.  In this part M does not live 

between 

( )

0

f

 and 

( )

5

f

.  So, what does this mean for us?  Does this mean that 

( )

10

f x

≠ −

 

in [0,5]? 
 

Unfortunately for us, this doesn’t mean anything.  It is possible that 

( )

10

f x

≠ −

 in [0,5], but is 

it also possible that 

( )

10

f x

= −

 in [0,5].  The Intermediate Value Theorem will only tell us that 

c’s will exist.  The theorem will NOT tell us that c’s don’t exist. 
 

In this case it is not possible to determine if 

( )

10

f x

= −

 in [0,5] using the Intermediate Value 

Theorem. 

[

Return to Problems

]

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

78 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Okay, as the previous example has shown, the Intermediate Value Theorem will not always be 
able to tell us what we want to know.  Sometimes we can use it to verify that a function will take 
some value in a given interval and in other cases we won’t be able to use it.   
 

For completeness sake here is the graph of 

( )

(

)

2

20 sin

3 cos

2

x

f x

x

=

+

 in the interval [0,5]. 

 

 

From this graph we can see that not only does 

( )

10

f x

= −

 in [0,5] it does so a total of 4 times!  

Also note that as we verified in the first part of the previous example 

( )

10

f x

=

 in [0,5] and in 

fact it does so a total of 3 times. 
 
So, remember that the Intermediate Value Theorem will only verify that a function will take on a 
given value.  It will never exclude a value from being taken by the function.  Also, if we can use 
the Intermediate Value Theorem to verify that a function will take on a value it never tells us how 
many times the function will take on the value, it only tells us that it does take the value. 
 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

79 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

The Definition of the Limit 

In this section we’re going to be taking a look at the precise, mathematical definition of the three 
kinds of limits we looked at in this chapter.  We’ll be looking at the precise definition of limits at 
finite points that have finite values, limits that are infinity and limits at infinity.  We’ll also give 
the precise, mathematical definition of continuity. 
 
Let’s start this section out with the definition of a limit at a finite point that has a finite value. 
 

Definition 1  Let f(x) be a function defined on an interval that contains 

x

a

=

, except possibly at 

x

a

=

.  Then we say that, 

( )

lim

x

a

f x

L

=  

if for every number 

0

ε

>

 there is some number 

0

δ

>

such that 

( )

whenever

0

f x

L

x

a

ε

δ

− <

< − <

 

 
Wow.  That’s a mouth full.  Now that it’s written down, just what does this mean?  
 
Let’s take a look at the following graph and let’s also assume that the limit does exist. 

 

What the definition is telling us is that for any number 

0

ε

>

 that we pick we can go to our graph 

and sketch two horizontal lines at 

L

ε

+

 and 

L

ε

 as shown on the graph above.  Then 

somewhere out there in the world is another number 

0

δ

>

, which we will need to determine, 

that will allow us to add in two vertical lines to our graph at 

a

δ

+

 and 

a

δ

 

Now, if we take any x in the pink region, i.e. between 

a

δ

+

 and 

a

δ

, then this x will be closer 

to a than either of 

a

δ

+

 and 

a

δ

.  Or,  

 

x a

δ

− <  

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

80 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

If we now identify the point on the graph that our choice of x gives then this point on the graph 
will lie in the intersection of the pink and yellow region.  This means that this function value f(x) 

will be closer to L than either of 

L

ε

+

 and 

L

ε

.  Or, 

 

( )

f x

L

ε

− <

 

 
So, if we take any value of x in the pink region then the graph for those values of x will lie in the 
yellow region. 
 

Notice that there are actually an infinite number of possible 

δ 

’s that we can choose.  In fact, if we 

go back and look at the graph above it looks like we could have taken a slightly larger 

δ 

 and still 

gotten the graph from that pink region to be completely contained in the yellow region. 
 
Also, notice that as the definition points out we only need to make sure that the function is 
defined in some interval around 

x

a

=

 but we don’t really care if it is defined at 

x

a

=

.  

Remember that limits do not care what is happening at the point, they only care what is 
happening around the point in question. 
 
Okay, now that we’ve gotten the definition out of the way and made an attempt to understand it 
let’s see how it’s actually used in practice. 
 
These are a little tricky sometimes and it can take a lot of practice to get good at these so don’t 
feel too bad if you don’t pick up on this stuff right away.  We’re going to be looking at a couple 
of examples that work out fairly easily. 
 

Example 1  

Use the definition of the limit to prove the following limit. 

 

2

0

lim

0

x

x

=  

Solution 

In this case both L and a are zero.  So, let 

0

ε

>

 be any number.  Don’t worry about what the 

number is, 

ε

 is just some arbitrary number.   Now according to the definition of the limit, if this 

limit is to be true we will need to find some other number 

0

δ

>

 so that the following will be 

true. 
 

 

2

0

whenever

0

0

x

x

ε

δ

− <

< − <  

 
Or upon simplifying things we need, 
 

 

2

whenever

0

x

x

ε

δ

<

<

<

 

 
Often the way to go through these is to start with the left inequality and do a little simplification 

and see if that suggests a choice for 

δ

.  We’ll start by bringing the exponent out of the absolute 

value bars and then taking the square root of both sides. 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

81 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

2

x

x

ε

ε

<

<

 

 

Now, the results of this simplification looks an awful lot like 

0

x

δ

<

<

 with the exception of 

the “

0

<

” part.  Missing that however isn’t a problem, it is just telling us that we can’t take 

0

x

=

.  So, it looks like if we choose 

δ

ε

=

 we should get what we want.   

 

We’ll next need to verify that our choice of 

δ

 will give us what we want, i.e.

2

whenever

0

x

x

ε

ε

<

<

<

 

 
Verification is in fact pretty much the same work that we did to get our guess.  First, let’s again 

let 

0

ε

>

 be any number and then choose 

δ

ε

=

.  Now, assume that 

0

x

ε

<

<

.  We need to 

show that by choosing x to satisfy this we will get, 
 

 

2

x

ε

<

 

 

To start the verification process we’ll start with 

2

x

 and then first strip out the exponent from the 

absolute values.  Once this is done we’ll use our assumption on x, namely that 

x

ε

<

.  Doing 

all this gives, 
 

 

( )

2

2

2

strip exponent out of absolute value bars

<

use the assumption that 

simplify

x

x

x

ε

ε

ε

=

<

=

 

 

Or, upon taking the middle terms out, if we assume that 

0

x

ε

<

<

 then we will get, 

2

x

ε

<

 

and this is exactly what we needed to show. 
 

So, just what have we done?  We’ve shown that if we choose 

0

ε

>

 then we can find a 

0

δ

>

 so 

that we have, 

2

0

whenever

0

0

x

x

ε

ε

− <

< − <

 

and according to our definition this means that, 

2

0

lim

0

x

x

=

 

 
These can be a little tricky the first couple times through.  Especially when it seems like we’ve 
got to do the work twice.  In the previous example we did some simplification on the left hand 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

82 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

inequality to get our guess for 

δ

 and then seemingly went through exactly the same work to then 

prove that our guess was correct.  This is often how these work, although we will see an example 
here in a bit where things don’t work out quite so nicely. 
 
So, having said that let’s take a look at a slightly more complicated limit, although this one will 
still be fairly similar to the first example. 
 

Example 2  

Use the definition of the limit to prove the following limit. 

 

2

lim 5

4

6

x

x

− =

 

Solution 
We’ll start this one out the same way that we did the first one.  We won’t be putting in quite the 
same amount of explanation however. 
 

Let’s start off by letting 

0

ε

>

 be any number then we need to find a number 

0

δ

>

so that the 

following will be true. 
 

 

(

)

5

4

6

whenever

0

2

x

x

ε

δ

− − <

< − <

 

 

We’ll start by simplifying the left inequality in an attempt to get a guess for 

δ

.  Doing this gives, 

 

(

)

5

4

6

5

10

5

2

2

5

x

x

x

x

ε

ε

− − =

=

− <

− <

 

 
So, as with the first example it looks like if we do enough simplification on the left inequality we 

get something that looks an awful lot like the right inequality and this leads us to choose 

5

ε

δ

=

Let’s now verify this guess.  So, again let 

0

ε

>

 be any number and then choose 

5

ε

δ

=

.  Next, 

assume that 

0

2

5

x

ε

δ

< − < =

 and we get the following, 

 

(

)

5

4

6

5

10

simplify things a little

5

2

more simplification....

5

use the assumption 

5

5

and some more simplification

x

x

x

ε

ε

δ

ε

− − =

=

 

<

=

 

 

=

 

So, we’ve shown that  

 

(

)

5

4

6

whenever

0

2

5

x

x

ε

ε

− − <

< − <

 

 and so by our definition we have, 

2

lim 5

4

6

x

x

− =

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

83 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
Okay, so again the process seems to suggest that we have to essentially redo all our work twice, 

once to make the guess for 

δ

and then another time to prove our guess.  Let’s do an example that 

doesn’t work out quite so nicely. 
 

Example 3  

Use the definition of the limit to prove the following limit. 

 

2

4

lim

11 9

x

x

x

+ − =  

Solution 

So, let’s get started.  Let 

0

ε

>

 be any number then we need to find a number 

0

δ

>

so that the 

following will be true. 

 

(

)

2

11

9

whenever

0

4

x

x

x

ε

δ

+ −

− <

< − <

 

 
We’ll start the guess process in the same manner as the previous two examples. 

 

(

)

(

)(

)

2

2

11

9

20

5

4

5

4

x

x

x

x

x

x

x

x

ε

+ −

− =

+ −

=

+

= +

− <

 

 

Okay, we’ve managed to show that 

(

)

2

11

9

x

x

ε

+ −

− <

 is equivalent to 

5

4

x

x

ε

+

− <

.  

However, unlike the previous two examples, we’ve got an extra term in here that doesn’t show up 
in the right inequality above.  If we have any hope of proceeding here we’re going to need to find 

some way to get rid of the 

5

x

+

 

To do this let’s just note that if, by some chance, we can show that 

5

x

K

+ <

 for some number 

K then, we’ll have the following, 

 

5

4

4

x

x

K x

+

− <

 

 

If we now assume that what we really want to show is 

4

K x

ε

− <

 instead of 

5

4

x

x

ε

+

− <

 

we get the following, 

 

4

x

K

ε

− <

 

 
This is starting to seem familiar isn’t it?   
 

All this work however, is based on the assumption that we can show that 

5

x

K

+ <

 for some K.  

Without this assumption we can’t do anything so let’s see if we can do this. 
 
Let’s first remember that we are working on a limit here and let’s also remember that limits are 

only really concerned with what is happening around the point in question, 

4

x

=

 in this case.  

So, it is safe to assume that whatever x is, it must be close to 

4

x

=

.  This means we can safely 

assume that whatever x is, it is within a distance of, say one of 

4

x

=

.  Or in terms of an 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

84 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

inequality, we can assume that, 

 

4

1

x

− <

 

 
Why choose 1 here?  There is no reason other than it’s a nice number to work with.  We could 

just have easily chosen 2, or 5, or 

1
3

.  The only difference our choice will make is on the actual 

value of K that we end up with.  You might want to go through this process with another choice 
of K and see if you can do it. 
 

So, let’s start with 

4

1

x

− <

 and get rid of the absolute value bars and this solve the resulting 

inequality for x as follows, 

 

1

4 1

3

5

x

x

− < − <

< <

 

 
If we now add 5 to all parts of this inequality we get, 

 

8

5 10

x

< + <

 

 

Now, since 

5

8

0

x

+ > >

 (the positive part is important here) we can say that, provided 

4

1

x

− <

 we know that 

5

5

x

x

+ = +

.  Or, if take the double inequality above we have, 

 

8

5

10

5

10

10

x

x

K

< + <

+ <

=

 

 

So, provided 

4

1

x

− <

 we can see that 

5

10

x

+ <

 which in turn gives us, 

 

4

10

x

K

ε

ε

− <

=

 

 

So, to this point we make two assumptions about 

4

x

  We’ve assumed that, 

 

4

AND

4

1

10

x

x

ε

− <

− <

 

 

It may not seem like it, but we’re now ready to chose a 

δ

.  In the previous examples we had only 

a single assumption and we used that to give us 

δ

.  In this case we’ve got two and they BOTH 

need to be true.  So, we’ll let 

δ

 be the smaller of the two assumptions, 1 and 

10

ε

.  

Mathematically, this is written as, 

min 1,

10

ε

δ

=

 

 
By doing this we can guarantee that, 

 

AND

1

10

ε

δ

δ

 

Now that we’ve made our choice for 

δ

 we need to verify it.  So, 

0

ε

>

 be any number and then 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

85 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

choose

min 1,

10

ε

δ

=

.  Assume that 

0

4

min 1,

10

x

ε

δ

< − < =

.  First, we get that, 

 

0

4

4

10

10

x

x

ε

ε

δ

< − < ≤

− <

 

 
We also get, 

 

0

4

1

4

1

5

10

x

x

x

δ

< − < ≤

− <

+ <

 

 
Finally, all we need to do is, 

 

(

)

2

2

11

9

20

simplify things a little

5

4

factor

10

4

use the assumption that 

5

10

10

use the assumption that 

4

10

10

a little final simplification

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ε

ε

ε

+ −

− =

+ −

= +

<

+ <

<

− <

<

 

 
We’ve now managed to show that, 

 

(

)

2

11

9

whenever

0

4

min 1,

10

x

x

x

ε

ε

+ −

− <

< − <

 

and so by our definition we have, 

2

4

lim

11 9

x

x

x

+ − =

 

 
Okay, that was a lot more work that the first two examples and unfortunately, it wasn’t all that 
difficult of a problem.  Well, maybe we should say that in comparison to some of the other limits 
we could have tried to prove it wasn’t all that difficult.  When first faced with these kinds of 
proofs using the precise definition of a limit they can all seem pretty difficult.   
 
Do not feel bad if you don’t get this stuff right away.  It’s very common to not understand this 
right away and to have to struggle a little to fully start to understand how these kinds of limit 
definition proofs work. 
 
Next, let’s give the precise definitions for the right- and left-handed limits. 
 

Definition 2  For the right-hand limit we say that, 

( )

lim

x

a

f x

L

+

=  

if for every number 

0

ε

>

 there is some number 

0

δ

>

such that 

( )

(

)

whenever

0

or 

f x

L

x a

a

x

a

ε

δ

δ

− <

< − <

< < +

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

86 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
 

Definition 3  For the left-hand limit we say that, 

( )

lim

x

a

f x

L

=  

if for every number 

0

ε

>

 there is some number 

0

δ

>

such that 

( )

(

)

whenever

0

or 

f x

L

x a

a

x

a

ε

δ

δ

− <

− < − <

− < <

 

 
Note that with both of these definitions there are two ways to deal with the restriction on x and 
the one in parenthesis is probably the easier to use, although the main one given more closely 
matches the definition of the normal limit above. 
 
Let’s work a quick example of one of these, although as you’ll see they work in much the same 
manner as the normal limit problems do. 
 

Example 4  

Use the definition of the limit to prove the following limit. 

 

0

lim

0

x

x

+

=  

Solution 

Let 

0

ε

>

 be any number then we need to find a number 

0

δ

>

so that the following will be true. 

 

0

whenever

0

0

x

x

ε

δ

− <

< − <

 

 
Or upon a little simplification we need to show, 

 

whenever

0

x

x

ε

δ

<

< <

 

 
As with the previous problems let’s start with the left hand inequality and see if we can’t use that 

to get a guess for 

δ

.  The only simplification that we really need to do here is to square both 

sides. 

 

2

x

x

ε

ε

<

<

 

 

So, it looks like we can chose 

2

δ ε

=

 

Let’s verify this.  Let 

0

ε

>

 be any number and chose 

2

δ ε

=

.  Next assume that 

2

0

x

ε

< <

.  

This gives, 
 

 

2

2

0

some quick simplification

use the assumption that 

one final simplification

x

x

x

ε

ε

ε

− =

<

<

<

 

We now shown that, 

2

0

whenever

0

0

x

x

ε

ε

− <

< − <

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

87 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

and so by the definition of the right-hand limit we have, 

0

lim

0

x

x

+

=

 

 
Let’s now move onto the definition of infinite limits.  Here are the two definitions that we need to 
cover both possibilities, limits that are positive infinity and limits that are negative infinity. 
 
 

Definition 4  Let f(x) be a function defined on an interval that contains 

x

a

=

, except possibly at 

x

a

=

.  Then we say that, 

( )

lim

x

a

f x

= ∞  

if for every number 

0

M

>

 there is some number 

0

δ

>

such that 

( )

whenever

0

f x

M

x a

δ

>

< − <

 

 

Definition 5  Let f(x) be a function defined on an interval that contains 

x

a

=

, except possibly at 

x

a

=

.  Then we say that, 

( )

lim

x

a

f x

= −∞  

if for every number 

0

N

<

 there is some number 

0

δ

>

such that 

( )

whenever

0

f x

N

x a

δ

<

< − <

 

 
In these two definitions note that M must be a positive number and that N must be a negative 
number.  That’s an easy distinction to miss if you aren’t paying close attention.   
Also note that we could also write down definitions for one-sided limits that are infinity if we 
wanted to.  We’ll leave that to you to do if you’d like to. 
 
Here is a quick sketch illustrating Definition 4. 

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

88 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

What Definition 4 is telling us is that no matter how large we choose M to be we can always find 

an interval around 

x

a

=

, given by 

0

x a

δ

< − <

 for some number 

δ

, so that as long as we 

stay within that interval the graph of the function will be above the line 

y

M

=

as shown in the 

graph.  Also note that we don’t need the function to actually exist at 

x

a

=

 in order for the 

definition to hold.  This is also illustrated in the sketch above. 
 

Note as well that the larger M is the smaller we’re probably going to need to make 

δ

 
To see an illustration of Definition 5 reflect the above graph about the x-axis and you’ll see a 
sketch of Definition 5. 
 
Let’s work a quick example of one of these to see how these differ from the previous examples. 
 

Example 5  

Use the definition of the limit to prove the following limit. 

 

2

0

1

lim

x

x

= ∞

 

Solution 
These work in pretty much the same manner as the previous set of examples do.  The main 
difference is that we’re working with an M now instead of an 

ε

.  So, let’s get going. 

 

Let 

0

M

>

 be any number and we’ll need to choose a 

0

δ

>

 so that, 

 

2

1

whenever

0

0

M

x

x

x

δ

>

< − =

<

 

 
As with the all the previous problems we’ll start with the left inequality and try to get something 
in the end that looks like the right inequality.  To do this we’ll basically solve the left inequality 

for x and we’ll need to recall that 

2

x

x

=

.  So, here’s that work. 

 

2

2

1

1

1

M

x

x

x

M

M

>

<

<

 

So, it looks like we can chose 

1

M

δ =

.  All we need to do now is verify this guess. 

 

Let 

0

M

>

 be any number, choose 

1

M

δ =

 and assume that 

1

0

x

M

<

<

.   

 
In the previous examples we tried to show that our assumptions satisfied the left inequality by 
working with it directly.  However, in this, the function and our assumption on x that we’ve got 
actually will make this easier to start with the assumption on x and show that we can get the left 
inequality out of that.  Note that this is being done this way mostly because of the function that 
we’re working with and not because of the type of limit that we’ve got. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

89 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Doing this work gives, 

 

2

2

2

2

2

2

1

1

square both sides

1

acknowledge that 

1

solve for 

x

M

x

M

x

x

x

M

M

x

x

<

<

<

=

>

 

 
So, we’ve managed to show that, 

 

2

1

1

whenever

0

0

M

x

x

M

>

< − <

 

and so by the definition of the limit we have, 

2

0

1

lim

x

x

= ∞

 

 
For our next set of limit definitions let’s take a look at the two definitions for limits at infinity.  
Again, we need one for a limit at plus infinity and another for negative infinity. 
 

Definition 6  Let f(x) be a function defined on 

x

K

>

for some K.  Then we say that, 

( )

lim

x

f x

L

→∞

=  

if for every number 

0

ε

>

 there is some number 

0

M

>

such that 

( )

whenever

f x

L

x

M

ε

− <

>

 

 

Definition 7  Let f(x) be a function defined on 

x

K

<

for some K.  Then we say that, 

( )

lim

x

f x

L

→−∞

=  

if for every number 

0

ε

>

 there is some number 

0

N

<

such that 

( )

whenever

f x

L

x

N

ε

− <

<

 

 
To see what these definitions are telling us here is a quick sketch illustrating Definition 6.   
Definition 6 tells us is that no matter how close to L we want to get, mathematically this is given 

by 

( )

f x

L

ε

− <

 for any chosen 

ε

, we can find another number M such that provided we take 

any x bigger than M, then the graph of the function for that x will be closer to L than either 

L

ε

 

and 

L

ε

+

.  Or, in other words, the graph will be in the shaded region as shown in the sketch 

below. 
 
Finally, note that the smaller we make 

ε

 the larger we’ll probably need to make M


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

90 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

 
Here’s a quick example of one of these limits. 
 

Example 6  

Use the definition of the limit to prove the following limit. 

 

1

lim

0

x

x

→−∞

=  

Solution 

Let 

0

ε

>

 be any number and we’ll need to choose a 

0

N

<

 so that, 

 

1

1

0

whenever

x

N

x

x

ε

− =

<

<

 

 
Getting our guess for N isn’t too bad here. 

 

1

1

x

x

ε

ε

<

>

 

 

Since we’re heading out towards negative infinity it looks like we can choose 

1

N

ε

= −

.   Note 

that we need the “-” to make sure that N is negative (recall that 

0

ε

>

).   

 

Let’s verify that our guess will work.  Let 

0

ε

>

 and choose 

1

N

ε

= −

 and assume that 

1

x

ε

< −

.  

As with the previous example the function that we’re working with here suggests that it will be 
easier to start with this assumption and show that we can get the left inequality out of that. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

91 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

1

1

take the absolute value

1

do a little simplification

1

solve for 

1

0

rewrite things a little

x

x

x

x

x

x

ε

ε

ε

ε

ε

< −

> −

>

<

− <

 

 
Note that when we took the absolute value of both sides we changed both sides from negative 
numbers to positive numbers and so also had to change the direction of the inequality. 
 
So, we’ve shown that, 

 

1

1

1

0

whenever

x

x

x

ε

ε

− =

<

< −

 

and so by the definition of the limit we have, 

1

lim

0

x

x

→−∞

=

 

 
For our final limit definition let’s look at limits at infinity that are also infinite in value.  There are 
four possible limits to define here.  We’ll do one of them and leave the other three to you to write 
down if you’d like to. 
 

Definition 8  Let f(x) be a function defined on 

x

K

>

for some K.  Then we say that, 

( )

lim

x

f x

→∞

= ∞  

if for every number 

0

N

>

 there is some number 

0

M

>

such that 

( )

whenever

f x

N

x

M

>

>

 

 
The other three definitions are almost identical.  The only differences are the signs of M and/or N 
and the corresponding inequality directions. 
 
As a final definition in this section let’s recall that we previously said that a function was 
continuous if, 

( )

( )

lim

x

a

f x

f a

=

 

 
So, since continuity, as we previously defined it, is defined in terms of a limit we can also now 
give a more precise definition of continuity.  Here it is, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

92 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

Definition 9  Let f(x) be a function defined on an interval that contains 

x

a

=

.  Then we say that 

f(x) is continuous at 

x

a

=

 if for every number 

0

ε

>

 there is some number 

0

δ

>

such that 

( )

( )

whenever

0

f x

f a

x

a

ε

δ

<

< − <

 

 
This definition is very similar to the first definition in this section and of course that should make 
some sense since that is exactly the kind of limit that we’re doing to show that a function is 
continuous.  The only real difference is that here we need to make sure that the function is 
actually defined at 

x

a

=

, while we didn’t need to worry about that for the first definition since 

limits don’t really care what is happening at the point. 
 
We won’t do any examples of proving a function is continuous at a point here mostly because 
we’ve already done some examples.  Go back and look at the first three examples.  In each of 
these examples the value of the limit was the value of the function evaluated at 

x

a

=

 and so in 

each of these examples not only did we prove the value of the limit we also managed to prove 
that each of these functions are continuous at the point in question. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

93 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
 
 




رفعت المحاضرة من قبل: عبدالله الحمداني
المشاهدات: لقد قام 4 أعضاء و 109 زائراً بقراءة هذه المحاضرة








تسجيل دخول

أو
عبر الحساب الاعتيادي
الرجاء كتابة البريد الالكتروني بشكل صحيح
الرجاء كتابة كلمة المرور
لست عضواً في موقع محاضراتي؟
اضغط هنا للتسجيل